Zobrazení zdroje stránky Cykloida

[[Soubor:Cycloid f.gif|náhled|Cykloida generovaná valícím se kolem]]
'''Cykloida''' je transcendentní [[cyklická křivka]], kterou vytvoří [[bod]] pevně spojený s [[kružnice|kružnicí]], která se valí (kutálí) po [[přímka|přímce]].

Cykloida má tvar [[nekonečno|donekonečna]] se opakujících [[Oblouk (geometrie)|oblouků]].

== Prostá cykloida ==
[[Soubor:cykloida_prosta.png|náhled|Prostá cykloida]]
Pokud bod pevně spojený s kružnicí leží na jejím obvodu, pak při valení této kružnice po přímce opisuje tento bod '''prostou (obecnou, obyčejnou) cykloidu'''.

Prostou cykloidu lze vyjádřit [[parametrická rovnice|parametricky]]:
:<math>x = a (t - \sin t)</math>,
:<math>y = a (1 - \cos t)</math>,
kde <math>a</math> je [[poloměr]] kružnice a parametr <math>t</math> je úhel otočení kutálející se kružnice.

První, resp. druhou polovinu prvního oblouku prosté cykloidy lze vyjádřit v [[explicitní funkce|explicitním tvaru]]
:<math>x = a \arccos \frac{a-y}{a} - \sqrt{y(2a-y)}</math>
pro <math>x\in\langle 0,\pi a \rangle</math>, resp.
:<math>x = a\left(2\pi - \arccos\frac{a-y}{a}\right) + \sqrt{y(2a-y)}</math>
pro <math>x\in\langle \pi a,2 \pi a\rangle</math>.

[[perioda (matematika)|Perioda]] cykloidy je <math>2\pi a</math>.

[[Délka]] oblouku dané větve prosté cykloidy od hrotu do bodu <math>[x(t),y(t)]</math> pro <math>t\in\langle 0,2 \pi \rangle</math> je
:<math>s = 4a\left(1-\cos\frac{t}{2}\right)</math>.
Dosazením periody získáme pro délku jedné větve prosté cykloidy výraz
:<math>s=8a</math>.

[[Obsah]] [[plocha|plochy]] ohraničené jednou větví prosté cykloidy je
:<math>S = 3\pi a^2</math>.

[[Poloměr křivosti]] v bodě různém od hrotu prosté cykloidy je
:<math>R = 4a \left|\sin\frac{t}{2}\right|</math>,

takže [[poloměr křivosti]] ve vrcholu je maximální:
:<math>R = 4a</math>.

Nejjednodušší [[přirozená rovnice]] prosté cykloidy je

:<math>R^2+s^2= 16a^2, s\in\langle -4a,+4a \rangle,</math>

kde však oblouk <math>s</math> počítáme od vrcholu.

[[evoluta|Evolutou]] cykloidy je shodná cykloida, která je ve směru osy <math>x</math> posunuta o <math>\pi a</math> souhlasně s původní cykloidou a ve směru osy <math>y</math> je posunuta o <math>2a</math> nesouhlasně s orientací původní cykloidy.

== Zkrácená a prodloužená cykloida ==
[[Soubor:cykloida_zkracena.png|náhled|Zkrácená cykloida]]
[[Soubor:cykloida_prodlouzena.png|náhled|Prodloužená cykloida]]
Pokud bod pevně spojený s kutálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnice, ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru <math>a</math> je <math>d</math>, pak pro <math>d<a</math> získáme '''cykloidu zkrácenou''' a pro <math>d>a</math> '''cykloidu prodlouženou'''.

[[parametrická rovnice|Parametrické rovnice]] zkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru
:<math>x = a t - d \sin t</math>
:<math>y = a - d \cos t</math>

== Vlastnosti ==
* Prostá cykloida má [[nekonečno|nekonečně]] mnoho [[hrot křivky|hrotů]].
* Všechny prosté cykloidy mají stejný tvar, jsou [[podobnost (geometrie)|podobné]].
* Zkrácená cykloida má [[nekonečno|nekonečně]] mnoho [[inflexní bod|inflexních bodů]].
* Prodloužená cykloida má nekonečně mnoho [[uzel křivky|uzlů]] (dvojných bodů).
* Oblouk cykloidy snese ze všech oblouků největší [[zatížení]], proto mnoho oblouků [[most]]ů má právě její tvar.
* Část cykloidy je řešením [[brachistochrona|úlohy o brachistochroně]]

== Související články ==
* [[Cyklická křivka]]
* [[Brachistochrona]]

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
* [http://videacesky.cz/video/vsauce-jak-vyrobit-brachistochronu Jak vyrobit brachistochronu (video)]
* [http://www.pf.jcu.cz/cabri/temata/CYKLOIDY/index.html Cykloidy v Cabri] {{Wayback|url=http://www.pf.jcu.cz/cabri/temata/CYKLOIDY/index.html |date=20050922124206 }}
* [http://dagles.klenot.cz/rihova/krivky.html Cyklické pohyby (teorie, obrázky v Gnuplotu)]
{{Autoritní data}}

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Rovinné křivky]]