Zobrazení zdroje stránky Cauchyova–Goursatova věta

'''Cauchyova–Goursatova věta''' (také '''Cauchyova věta''' nebo '''Cauchyova věta o integrálech''') je věta z oblasti [[Komplexní analýza|komplexní analýzy]]. Říká, že integrály [[Holomorfní funkce|holomorfních funkcí]] po uzavřených [[Křivka|křivkách]] jsou za určitých podmínek vždy nulové. Je pojmenována po svých autorech: v jednodušší podobě (jen pro pravoúhlé oblasti) větu vyslovil roku 1814 [[Augustin Louis Cauchy]] a později ji zobecnil [[Edouard Goursat]]. Jedním z důsledků věty je [[Cauchyův vzorec]], umožňující počítat hodnoty holomorfních funkcí uvnitř nějaké oblasti z hodnot na její hranici.

Věta zní takto: Nechť '''G''' je [[Jednoduše souvislá množina|jednoduše souvislá]] a [[otevřená množina]] [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] a ''f'' je holomorfní funkce definovaná v '''G'''. Nechť ''C'' je Jordanova křivka (tj. jednoduchá uzavřená rektifikovatelná křivka) v '''G''', která je po částech hladká. Pak integrál ''f'' po křivce ''C'' se rovná nule. Zapsáno rovnicí:

:<math>\oint_C f(z)\,dz = 0. </math>

Nejjednodušší důkaz se zakládá na tom, že se [[integrál]] rozepíše na reálnou a imaginární část, pomocí [[Greenova věta|Greenovy věty]] převede na integrál přes vnitřek křivky ''C'' a na základě [[Cauchyho–Riemannovy podmínky|Cauchyho–Riemannových podmínek]] se ukáže, že integrand se rovná konstantně nule. Jestliže tedy <math> \displaystyle f=u+iv </math>
a <math> \displaystyle dz=dx+i\,dy </math>, pak

:<math>\oint_C f(z)\,dz = \oint_C (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_C (u\,dx-v\,dy) +i\oint_C (v\,dx+u\,dy).</math>

Oba integrály lze upravit pomocí Greenovy věty:

:<math>\oint_C (u\,dx-v\,dy) =  \iint_{vnit. C} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy, </math>
:<math>\oint_C (v\,dx+u\,dy) =  \iint_{vnit. C} \left(  \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy,</math>

přičemž integrandy jsou podle Cauchyho–Riemannových podmínek nulové, čímž je tvrzení dokázáno.

Opačné tvrzení, tedy že z nulovosti integrálů po uzavřených křivkách vyplývá holomorfnost funkce, se nazývá [[Morerova věta]].

Větu lze dále zobecnit pro případ, že uvnitř křivky ''C'' se nacházejí oblasti, na kterých funkce ''f'' není holomorfní nebo není definovaná, ale tyto oblasti jsme schopni omezit po částech hladkými Jordanovými křivkami. '''Obecná''' '''Cauchyova–Goursatova věta''' zní:

Nechť ''C'' a ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> jsou po částech hladké a souhlasně orientované Jordanovy křivky, nechť ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> leží uvnitř C a vnitřky křivek ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> jsou navzájem disjunktní. Nechť ''f'' je holomorfní na křivce ''C'' a na jejím vnitřku s případnou výjimkou vnitřků křivek ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub>. Pak platí

:<math>\oint_{C} f(z) \mathop{\mathrm dz} = \sum_{i = 1}^{n} \oint_{C_i} f(z)\mathop{\mathrm dz}.</math>

== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Integrální počet]]
[[Kategorie:Augustin Louis Cauchy]]