Zobrazení zdroje stránky Axiomatická teorie množin

[[Soubor:Russell, Whitehead - Principia Mathematica to 56.jpg|náhled|Úvodní strana knihy [[Principia Mathematica]] autorů [[Alfred North Whitehead|A. Whiteheada]] a [[Bertrand Russell|Bertranda Russela]], která je jednou ze zakladatelských prací Axiomatické teorie množin]]
'''Axiomatická teorie množin''' je označení pro [[Teorie|teorii]], která [[Formalizace|formalizuje]] vlastnosti [[Množina|množin]] takovým způsobem, aby bylo možné pomocí množin zkonstruovat všechny matematické objekty, takže dokazatelná [[Tvrzení (matematika)|tvrzení]] této teorie budou přesně odpovídat všem platným matematickým výsledkům ze všech oblastí matematiky ([[algebra]], [[diferenciální rovnice]], [[geometrie]], [[teorie pravděpodobnosti]] i&nbsp;všechny ostatní).{{Doplňte zdroj}}

Hlavní význam takových teorií je v&nbsp;tom, že staví na velmi solidní základ pojem „dokazatelné matematické tvrzení“ a tedy poskytují užitečné vodítko při ověřování, zda nějaký [[matematický důkaz]] je korektní.{{Doplňte zdroj}}

Nejpoužívanější axiomatická teorie množin je jednak [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin]] (značení ZF) a dále ZF s&nbsp;přidaným [[Axiom výběru|axiomem výběru]] (ta se značí ZF+AC nebo ZFC). ZFC je všeobecně uznávána jako teorie, která přesně popisuje platné matematické pravdy, tj. matematická věta je pokládána za pravdivou, právě když je dokazatelná v&nbsp;ZFC (dokazatelnost ovšem nelze snadno ověřit, neboť v&nbsp;každém okamžiku existuje mnoho pravdivých hypotéz, které ještě nebyly dokázány nebo ani vysloveny).{{Doplňte zdroj}}

Aplikace [[Gödelovy věty o neúplnosti|Gödelových vět o&nbsp;neúplnosti]] na axiomatickou teorii množin přináší vhledy na podstatu a [[Filozofie matematiky|filosofii matematiky]], neboť z&nbsp;ní vyplývá, že sebelepší axiomatika teorie množin bude vždy obsahovat [[Nerozhodnutelný problém|nerozhodnutelná tvrzení]] (množinu všech matematických pravd nelze popsat žádnou soustavou axiomů) a že pokud teorie, kterou chceme používat k&nbsp;popisu všech matematických pravd, je [[Bezesporná teorie|bezesporná]], nelze tuto bezespornost dokázat.{{Doplňte zdroj}}

== Důvod vzniku ==
K&nbsp;převážné většině matematických konstrukcí (včetně pokročilých, jako je [[Úplný obal|úplný obal metrického prostoru]]) stačí [[Naivní teorie množin|intuitivní (naivní) teorie množin]], v&nbsp;níž intuitivně pracujeme s&nbsp;množinami jako se souhrny objektů. Tento přístup však vede k&nbsp;rozporům, pokud pracujeme s&nbsp;„příliš velkými“ množinami (nejznámější z&nbsp;těchto sporů je [[Russelův paradox]]). Vzato do důsledků, [[naivní teorie množin]] je [[Bezesporná teorie|sporná]] a proto v&nbsp;ní lze dokázat cokoli (např. že 1+1=42).

V&nbsp;reakci na tyto rozpory vznikla axiomatická teorie množin, která staví dokazatelnost matematických pravd na pevný základ. Její hlavní přednosti oproti naivní teorii jsou tyto:

'''1. Neumožňuje Russelův paradox''' (a další [[paradoxy naivní teorie množin]]) tím, že velké souhrny objektů (například „souhrn všech množin“) v&nbsp;ní nejsou pokládány za množiny, nýbrž jsou nazývány [[Třída (matematika)|vlastními třídami]] a pracuje se s&nbsp;nimi jinak.{{Doplňte zdroj}}

'''2. Nepředpokládá nic kromě přesně vyjmenovaných axiomů''' (odtud název „axiomatická“). Ani tak samozřejmé skutečnosti, jako že existuje prázdná množina (nebo že k&nbsp;množinám ''a, b'' existuje i&nbsp;množina ''{a,b}'') není dovoleno předpokládat, dokud to není dokázáno z&nbsp;axiomů anebo samo není axiomem.

[[Predikátová logika]] dává návod, jak [[Prohledávání do šířky|prohledáváním nekonečného stromu]] ověřit dokazatelnost tvrzení z&nbsp;dané množiny axiomů.{{Doplňte zdroj}} Existence soustavy axiomů, z&nbsp;nichž plyne každé matematické tvrzení, tedy umožňuje [[Algoritmus|algoritmicky]] rozhodnout o&nbsp;pravdivosti jakékoli matematické hypotézy (tento algoritmus se nezastaví, pokud je tato hypotéza nerozhodnutelná z&nbsp;axiómů ZFC). To je sice v&nbsp;praxi nepoužitelné, protože počet větví stromu je astronomicky velký, ale přesto je ZFC užitečným vodítkem při diskuzi, zda nějaký argument lze nazvat platným matematickým důkazem.

=== Proč množiny? ===
Při konstrukci teorie, která má obsáhnout celou matematiku, není možné do ní přidat všechny druhy objektů – například přidat [[Predikátová logika|predikát]] „tento objekt [[Predikátová logika|univerza]] je [[Přirozená čísla|přirozené číslo]]“ (podobně, jako GB má predikát „[[Gödel-Bernaysova teorie množin#Vztah NBG a ZFC|tento objekt je množina]]“) a vložit axiomy, které chování přirozených čísel popisují (např. [[Peanovy axiomy]]).

Při takovém přístupu by se množina predikátů a axiomů neustále rozrůstala, například po objevení [[Komplexní číslo|komplexních čísel]], [[Hyperkomplexní číslo|hyperkomplexních čísel]] apod. S&nbsp;každým rozšířením by se musely znovu dokazovat výsledky o&nbsp;teorii dokázané (například to, že nějaké tvrzení je v&nbsp;této teorii [[Nezávislé tvrzení|nezávislé]]).{{Doplňte zdroj}}<ref group="pozn">Stačí si uvědomit, že s&nbsp;každým přidaným (z&nbsp;ostatních axiomů neodvoditelným) axiomem se rozšiřuje množina dokazatelných tvrzení, a navíc se může stát, že naše teorie se stane spornou (tedy se dá dokázat nějaké tvrzení i&nbsp;jeho negace).</ref>

Proto je zvolen opačný přístup: axiomy popisují vlastnosti skupiny co nejjednodušších objektů, které stačí ke zkonstruování celé matematiky. Ukázalo se, že k&nbsp;tomuto účelu nejlépe slouží množiny; z&nbsp;těch lze zkonstruovat přirozená čísla, reálná čísla, [[funkce (matematika)|funkce]], [[přímka|přímky]], [[Topologický prostor|topologické prostory]] atd.

== Konstrukce objektů ==
Jelikož cílem ZF je popsat jedinou soustavou axiomů celou matematiku, není možné postupovat tak, že zavedeme pojem např. „přirozené číslo“ a vložíme axiomy o&nbsp;tom, jaké vlastnosti přirozená čísla mají. V&nbsp;takovém případě bychom museli rozšířit množinu axiomů pokaždé, když je v&nbsp;matematice objeven další důležitý pojem ([[reálné číslo]], [[funkcionál]], [[Teorie kategorií|kategorie]]...)

Proto ZF vychází z&nbsp;předpokladu, že všechny matematické objekty jsou množiny, a její axiomy poskytují možnost z&nbsp;množin konstruovat množiny složitější. Prvek množin tedy mohou být opět jen množiny.

Matematické objekty, se kterými chceme pracovat, pak ztotožníme s&nbsp;vhodnými množinami – víme, jaké vlastnosti očekáváme od přirozených čísel (například že ke každému číslu existuje číslo o&nbsp;jedničku větší), a proto zvolíme množiny, které odpovídající vlastnost mají.

=== Uspořádané dvojice ===
Symbol ''(a, b)'' pokládáme za zkratku pro ''<nowiki>{{a}, {a, b}}</nowiki>'' .Tato definice splňuje základní vlastnost, kterou od uspořádaných dvojic čekáme:
:''(a, b) = (c, d)'' právě když ''a = c'' a zároveň ''b = d''.

=== Přirozená čísla ===
* Číslo 0 ztotožníme s&nbsp;prázdnou množinou <math>\emptyset</math>
* Číslo 1 ztotožníme s&nbsp;množinou <math> 0 \cup \{ 0 \} = \{ \emptyset \}</math>
* Číslo 2 ztotožníme s&nbsp;množinou <math> 1 \cup \{ 1 \} = \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \}</math>
* Číslo 3 ztotožníme s&nbsp;množinou <math> 2 \cup \{ 2 \} = \{ \emptyset , \{ \emptyset \} ,  \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} \}</math>
* Obecně <math> n+1 = n \cup \{ n \}</math>

Formálně: Množinu přirozených čísel definujeme jako průnik všech množin, které obsahují prázdnou množinu a s&nbsp;každým svým prvkem <math> x </math> obsahují i&nbsp;množinu <math>  x \cup \{ x \}</math>.

Množinu přirozených čísel (včetně nuly) značíme <math>\omega_0</math>.

=== Celá čísla ===
[[Soubor:Relative numbers representation.svg|náhled|Ilustrace definice [[celé číslo|celých čísel]]]]
Máme-li definovaná přirozená čísla, pak by se mohlo zdát přirozené reprezentovat záporné číslo <math> -n </math> jako <math> (0, n) </math>. To však nelze, protože pro některá přirozená čísla <math> m, n </math> by mohlo platit <math> m = (0, n) </math><!--<ref group=pozn>Mějme množiny <math>\scriptstyle \left( n+1 \right) = \left\{ \emptyset , \left\{ n \right\} \right\}</math> a <math>\scriptstyle \left( -n \right) = \left\{ \emptyset , \left\{ n \right\} \right\}</math>. Pak zjevně platí  <math>\scriptstyle \left( n+1 \right) = \left( -n \right)</math>.</ref>-->.

Je však možné reprezentovat přirozená čísla (pro <math> n >= 0 </math>) jako <math>(0, n)</math> a záporná čísla <math>-n </math> (pro <math> n > 0 </math>) jako <math>(1, n)</math>. Tato definice se nepoužívá, protože by definice sčítání, násobení apod. byla složitější, než u&nbsp;definice následující:

Idea je reprezentovat celé číslo <math>z</math> nekonečnou množinou takových dvojic <math>(a, b)</math>, že <math>a, b</math> jsou přirozená čísla splňující <math>z = a - b</math>. Například <math>-2 = \{ (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), .... \}</math>

Formálně: Množina celých čísel je definována jako rozklad (tedy množina všech [[třída ekvivalence|tříd ekvivalence]]) [[Kartézský součin|kartézského součinu]] <math>\omega_0</math> x <math>\omega_0</math> podle ekvivalence:
:<math>(a, b)</math> ~ <math>(c, d)</math> právě když <math>a + d = b + c</math>.

Máme-li definované sčítání a násobení pro přirozená čísla, definujeme je pro celá čísla takto: vyberme libovolný prvek (tzv. reprezentant) <math>(a, b)</math> a <math>(c, d)</math> čísel, které chceme sečíst. Výsledkem bude třída ekvivalence, která obsahuje dvojici <math>(e, f)</math> (tato třída nezávisí na volbě reprezentantů):
* Pro sčítání: <math>e = a + c, f = b + d  </math>
* Pro násobení: <math>e = a.c + b.d , f = a.d - b.c </math>
Vzoreček pro násobení lze snadno odvodit roznásobením vztahu
:<math>e-f = (a-b) . (c - d) </math>
Podobně se postupuje i&nbsp;u&nbsp;dalších matematických operací.

Za pozornost stojí i&nbsp;skutečnost, že totéž číslo (například 2) je reprezentováno jinak jako přirozené číslo než jako celé číslo. Množina přirozených čísel tedy formálně není podmnožinou množiny celých čísel. S&nbsp;podobným jevem se v&nbsp;teorii množin setkáváme velmi často; tento přístup je volen proto, abychom nemuseli změnit reprezentaci množiny, pokud konstruujeme její rozšíření – například kdyby [[komplexní čísla]] a [[kvaterniony]] (což jsou oboje rozšíření [[Reálná čísla|reálných čísel]]) byly objeveny až poté, co byla ustálena konvence, jak reálná čísla v&nbsp;teorii množin reprezentovat.

=== Racionální čísla ===
Každé racionální číslo lze zapsat nekonečně mnoha způsoby jako zlomek, např.:
: 3/2 = 6/4 = 300 / 200 = -300 / -200.

Racionální číslo budeme tedy reprezentovat množinou všech takovýchto dvojic <math>(a, b)</math>.

Formálně: Množina racionálních čísel je definována jako rozklad (tedy množina všech [[třída ekvivalence|tříd ekvivalence]]) množiny

: <math> \{ (a,b)  | a,b  \in Z, b \not= 0 \} </math>

podle ekvivalence
 
:<math>(a, b)</math> ~ <math>(c, d)</math> právě když <math> a.d = b.c  </math>.
[[Soubor:Dedekind cut- square root of two.png|náhled|Definice <math>\sqrt{2}</math> pomocí [[Dedekindův řez|Dedekindových řezů]]]]
V&nbsp;této definici <math>Z</math> značí množinu celých čísel definovanou výše a zápis <math> b\not=0  </math> se týká nuly jako celého čísla, což je formálně jiný objekt, než nula jako přirozené číslo.

Definice sčítání, násobení apod. odvodíme podobným způsobem jako u&nbsp;celých čísel.

=== Reálná čísla ===
Reálná čísla je možno definovat několika způsoby, například ztotožnit jejich množinu s&nbsp;množinou všech [[Dedekindův řez|Dedekindových řezů]].

== Gödelovy věty a nedokazatelná tvrzení ==
[[Gödelovy věty o neúplnosti]] říkají, že je-li nějaká [[Predikátová logika|predikátová teorie]] bezesporná, [[Rekurzivně spočetný jazyk|rekurzivně axiomatizovatelná]] a dokazuje základní [[Aritmetika|aritmetické]] pravdy, pak není [[Úplná teorie|úplná]] a neumí dokázat svoji bezespornost.

V&nbsp;každé teorii, kterou chceme pokládat za popis všech matematických pravd, musí být dokazatelné základní aritmetické pravdy a měl by existovat algoritmus, kterým ověříme, zda dané tvrzení je axiomem; bez takového algoritmu je teorie nepoužitelná k&nbsp;praktickým účelům.<ref group=pozn>Gödelovy věty o&nbsp;neúplnosti vyžadují [[rekurzivně spočetný jazyk]], což je slabší podmínka, než [[rekurzivní jazyk]]. '''Teorie používané v&nbsp;praxi ovšem splňují mnohem přísnější podmínky''', než existence obecného (neomezeně složitého) algoritmu; viz například [[schéma nahrazení]] nebo [[schéma indukce]] – jsou definovány jednoduchými operacemi s&nbsp;řetězci. Do tohoto schématu patří každý řetězec znaků. který vznikne dosazením libovolné [[Formule (logika)|formule]] do předem daného řetězce. <br />Příkladem '''teorie, která není rekurzívně spočetná''' (tj. nesplňuje ani nejslabší z&nbsp;výše uvedených podmínek) je teorie v&nbsp;jazyce [[Peanova aritmetika|Peanovy aritmetiky]] (PA), která obsahuje jako axiomy všechny formule, které jsou pravdivé ve struktuře přirozených čísel (tato struktura je jen jeden z&nbsp;mnoha možných modelů PA). Je tedy [[Rozšíření predikátové teorie|rozšířením]] PA, ovšem na rozdíl od ní umí dokázat, že PA je [[Bezesporná teorie|bezesporná]]. Tato teorie by byla pro mnoho praktických účelů užitečnější, než PA, ale je v&nbsp;praxi nepoužitelná, neboť neexistuje způsob, jak ověřit, zda nějaké tvrzení je nebo není jejím axiomem.</ref>

Z&nbsp;toho plyne, že je-li tato teorie bezesporná, pak pro ni platí obě Gödelovy věty o&nbsp;neúplnosti a její bezespornost není nikdy možné dokázat.<ref group=pozn>To platí proto, že teorie, jejíž bezespornost zkoumáme, je zároveň teorií, které věříme, že popisuje platné matematické pravdy. Pokud zkoumáme nějakou slabší teorii, například PA, pak na důkaz její bezespornosti sice nestačí PA, ovšem stačí na ni naše „znalost matematiky“ (která je reprezentována například teorií [[ZFC]]); v&nbsp;té lze ukázat, že přirozená čísla tvoří model PA a z&nbsp;toho odvodit její bezespornost).</ref> V&nbsp;její bezespornost matematická komunita pevně věří, protože spor nebyl objeven přes téměř celé století, kdy je tato teorie používána. Pro ZFC, která je běžně přijímána jako popis všech matematických pravd, jsou tedy dvě možnosti:

* ZFC je bezesporná, potom nikdy nebude objeven důkaz sporu i&nbsp;důkaz bezespornosti.
* ZFC je sporná; pokud bude objeven důkaz její bezespornosti, Gödelova druhá věta o&nbsp;neúplnosti dá návod, jak zkonstruovat důkaz sporu.

=== Dopad na filosofii matematiky ===

Výše uvedené úvahy nevyužívaly specifické vlastnosti ZFC. Platí o&nbsp;každé rekurzívně spočetné teorii, kterou přijímáme jako popis všech matematických pravd a která umí dokázat základní pravdy aritmetiky (poslední podmínka v&nbsp;zásadě plyne z&nbsp;předposlední).

Z&nbsp;toho plyne, že výše uvedené „vady“ ZFC (její neúplnost a nemožnost ověřit její bezespornost) nelze napravit vhodnější volbou jejích axiomů; není tedy možný [[Hilbertův program]]. Matematické pravdy tedy nikdy nebudou plně popsány soustavou axiómů.

Bezespornost ZFC je možno snadno dokázat v&nbsp;nějaké silnější teorii (např. [[Kelleyova-Morseova teorie množin|Kelleyova-Morseova teorie]] s&nbsp;axiómem výběru), ovšem to nemá žádnou váhu pro ověření, že je skutečně bezesporná. Kdybychom si byli jisti bezesporností KM+AC, nemuseli bychom ověřovat bezespornost ZFC, která z&nbsp;ní plyne. A&nbsp;pokud si nejsme jisti ani bezesporností KM+AC, tím méně můžeme spoléhat, že každé tvrzení v&nbsp;ní dokazatelné je pravdivé (což je podstatně silnější tvrzení: například PA s&nbsp;přidaným axiomem „PA je sporná“ je bezespornou teorií).

Nerozhodnutelná tvrzení v&nbsp;teorii množin mají nejen akademický význam, ale týkají se i&nbsp;„praktičtějších“ oblastí matematiky, jako je [[Matematická analýza]] (příkladem je [[Hypotéza kontinua]]). Bez axiomu výběru je nerozhodnutelná i&nbsp;řada zcela fundamentální faktů pro práci v&nbsp;matematice, například zda je každá funkce [[Lebesgueův integrál|Lebesgueovsky integrovatelná]] a zda je [[kartézský součin]] neprázdných množin vždy neprázdný.

== Historie ==
[[Soubor:Diagonal argument 2.svg|náhled|Ilustrace [[Cantorova diagonální metoda|Cantorovy diagonální metody]]]]
Axiomatická teorie množin se vyvinula během dvacátého století z&nbsp;[[naivní teorie množin]], kterou zavedli [[Georg Cantor]] a další.

=== Naivní teorie množin ===
Naivní teorie množin vznikla z&nbsp;nutnosti popsat objekty, se kterými pracovala matematická analýza i&nbsp;v&nbsp;jiných matematických disciplínách.

Prvním vážným pokusem o&nbsp;přesný popis těchto objektů byla práce [[Bernard Bolzano|Bernarda Bolzana]], jenž zavedl pojem množina a zkoumal vlastnosti nekonečných množin. Na toto téma napsal knihu [[Paradoxy nekonečna]] (Paradoxien des Unendlichen), která byla vydána až po jeho smrti.

Opravdovým zakladatelem teorie množin je Georg Cantor, který zavedl pojmy jako [[potenční množina]], [[ordinál]] či [[kardinální číslo|kardinál]]. Též dokázal existenci [[nespočetná množina|nespočetných množin]]. K&nbsp;tomu použil zcela nový důkazní prostředek, dnes nazývaný [[Cantorova diagonální metoda]]. Později dokázal takzvanou [[Cantorova věta|Cantorovu větu]] tvrdící, že ke každé množině existuje množina o&nbsp;větší [[mohutnost]]i – její potenční množina. Používal tuto definici množiny: ''„Množinou A&nbsp;rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v&nbsp;naší mysli. Těmto objektům říkáme prvky množiny A.“''.<ref>{{Citace elektronického periodika |titul=Jiří Velebil, Naivní teorie množin, 27. února 2008: 15/16 |url=ftp://math.feld.cvut.cz/pub/velebil/yd01mlo/handout01.pdf |datum přístupu=2011-05-17 |url archivu=https://web.archive.org/web/20200530112457/ftp://math.feld.cvut.cz/pub/velebil/yd01mlo/handout01.pdf |datum archivace=2020-05-30 }}</ref> Tato teorie dosáhla vynikajících výsledků, avšak na přelomu devatenáctého a dvacátého století se v&nbsp;ní objevili antinomie (takzvané paradoxy naivní teorie množin; viz níže).

=== Paradoxy naivní teorie množin a počátky axiomatické teorie množin ===

Na přelomu 19. a 20. století byly v naivní teorii množin objeveny antinomie (takzvané [[paradoxy naivní teorie množin]]). První se týkaly pouze velmi velkých souborů, jako je množina všech [[ordinální číslo|ordinálních čísel]] ([[Burali-Fortiho paradox]]) anebo množina všech množin ([[Cantorův paradox]]). Těmto antinomiím se nepřikládal velký význam, neboť se předpokládalo, že zpřesněním práce s tak velkými soubory se odstraní.

Opravdovým problémem se ukázal [[Russellův paradox]], týkající se množiny, která je definována jednoduchou formulí. Russellův paradox se dá popsat takto: ''„Mějme množinu <math>\left \{ x|x \notin x \right \}</math> všech množin, které nejsou prvky samy sebe. Je tato množina svým prvkem? Obě možné odpovědi vedou ihned ke sporu.

V následujících letech se objevilo ještě několik obdobných problémů; například [[Richardův paradox]] týkající se diagonální metody a [[sémantika|sémantiky]] obecného jazyka.

=== Počátky axiomatické teorie množin ===
V roce 1908 [[Ernst Zermelo]] v článku ''Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre'' (česky: Zkoumání základů teorie množin) popsal teorii množin s ''axiomem extenzionality'', ''axiom dvojice'', ''axiom potenční množiny'', ''axiom sumy'', ''axiom nekonečna'', ''axiom výběru'' a ''schéma axiomů vydělení''.<ref name="zermelo">[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=38200 Zermelo, Ernst: ''Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre'', Mathem. Annalen 1908]{{Nedostupný zdroj}}</ref> V roce 1917 [[Dmitrij Mirimanov]] ''schéma axiomů vydělení'' nahradil obecnějším ''schématem axiomů nahrazení''.

{{Pahýl část}}

== Jednotlivé systémy ==
Existuje několik různých systémů axiomatizace teorie množin s&nbsp;různou silou a výsledky. Zde je uvedena jen část z&nbsp;nich.

=== Zermelova-Fraenkelova teorie množin ===
{{Viz též|Zermelova-Fraenkelova teorie množin}}
'''Zermelova-Fraenkelova teorie množin''' je dnes nejužívanější ze systémů axiomatické teorie množin{{Doplňte zdroj}}, která je sama o&nbsp;sobě nebo v&nbsp;některých mírných modifikacích (zejména s&nbsp;přidaným [[axiom výběru|axiomem výběru]]) používána jako základ pro většinu dalších odvětví matematiky včetně algebry a matematické analýzy.{{Doplňte zdroj}} Tento systém nedefinuje [[třída (matematika)|třídy]], ty jsou jen součástí [[metajazyk]]a.{{Doplňte zdroj}}

Mezi tvrzení nerozhodnutelná v&nbsp;této teorii patří například [[axiom výběru]]<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Axiom_of_choice
 | titul = Encyclopedia of Mathematics
 | vydavatel = Springer
 | datum přístupu = 2019-02-15
 | kapitola = Axiom of choice
}}</ref>, [[hypotéza kontinua]]<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Continuum_hypothesis
 | titul = Encyclopedia of Mathematics
 | vydavatel = Springer
 | datum přístupu = 2019-02-15
 | kapitola = Continuum hypothesis
}}</ref>, [[Axiom konstruovatelnosti]]<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/G%C3%B6del_constructive_set
 | titul = Encyclopedia of Mathematics
 | vydavatel = Springer
 | datum přístupu = 2019-02-15
 | kapitola = Gödel constructive set
}}</ref> a [[Suslinova hypotéza]]<ref>{{Citace elektronické monografie
 | url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Suslin_hypothesis
 | titul = Encyclopedia of Mathematics
 | vydavatel = Springer
 | datum přístupu = 2019-02-15
 | kapitola = Suslin hypothesis
}}</ref>. Všechny výsledky tohoto druhu (že něco nejde z&nbsp;axiomů ZFC dokázat) jsou ovšem formulovány s&nbsp;podmínkou „Pokud je ZFC bezesporná“, neboť její bezespornost nelze ověřit.

Je založena na těchto axiomech<ref name="BŠ axiomy ZF">{{Citace monografie
 | příjmení = Balcar
 | jméno = Bohuslav
 | příjmení2 = Štěpánek
 | jméno2 = Petr
 | titul = Teorie množin
 | url = https://archive.org/details/teoriemnoin00bohu
 | odkaz na titul = 
 | vydání = 2
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 2001
 | rok copyrightu = 2000
 | počet stran = 464
 | kapitola = I2
 | typ kapitoly = kapitola
 | strany = [https://archive.org/details/teoriemnoin00bohu/page/35 35]-43
 | typ svazku = 
 | isbn = 80-200-0470-X
}}</ref>{{#tag:ref|Mezi axiomy ZF se někdy uvádějí i [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#axiom existence množiny|axiom existence množiny]] <math>\scriptstyle ((\exist x ) (x = x))</math> a [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů vydělení|schéma axiomů vydělení]] (''Je-li <math>\scriptstyle \phi ( x )</math> formule, která neobsahuje volnou proměnnou z, potom formule <math>\scriptstyle ( \forall a ) ( \exist z ) ( \forall x ) (x \in z \Leftrightarrow ( x \in a \and \phi(x))) </math>'') je axiomem teorie. Tyto axiomy však lze odvodit z ostatních axiomů. Jmenovitě axiom existence množiny plyne okamžitě z [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#axiom existence množiny|axiomu nekonečna]] a schéma axiomů vydělení ze [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin#axiom existence množiny|schématu axiomů nahrazení]].<ref name="BŠ axiom vydělení">{{Citace monografie
 | příjmení = Balcar
 | jméno = Bohuslav
 | příjmení2 = Štěpánek
 | jméno2 = Petr
 | titul = Teorie množin
 | url = https://archive.org/details/teoriemnoin00bohu
 | odkaz na titul = 
 | vydání = 2
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 2001
 | rok copyrightu = 2000
 | počet stran = 464
 | kapitola = I2.27
 | typ kapitoly = odstavec
 | strany = [https://archive.org/details/teoriemnoin00bohu/page/n33 35]-43
 | typ svazku = 
 | isbn = 80-200-0470-X
}}</ref><ref>[http://us.metamath.org/mpegif/axsep.html Metamath Proof Explorer, Theorem axsep].</ref> Tyto axiomy jsou však potřebné pro dílčí axiomatizace ([[Zermelova teorie množin]] a [[Fraenkelova teorie množin]]).<ref name="BŠ axiomy ZF" />|group="pozn"}}:
* '''Axiom extenzionality''': Množiny, které mají stejné prvky, se rovnají.
* '''Schéma axiomů nahrazení''': Je-li F(x,y) formule jazyka teorie množin v&nbsp;proměnných x,y, která je navíc zobrazením (tj. pokud F(x,y) a F(x,z), pak y = z) pak každý výrok ''Pro každou množinu a existuje množina b obsahující právě všechny obrazy prvků množiny a v&nbsp;zobrazení F(x,y)'' <math>\scriptstyle (\forall x,y,z)((F(x,y) \and F(x,z)) \implies y = z) \implies (\forall a)(\exists b)(\forall w)(w \isin b \Leftrightarrow (\exists v)(v \isin a \and F(v,w)))</math> je axiomem '''ZF'''.
* '''Axiom dvojice''': Pro každé dvě množiny a,b existuje množina c obsahující právě tyto dvě množiny.
* '''Axiom sumy''': Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě všechny prvky prvků množiny a.
* '''Axiom potenční množiny''': Pro každou množinu a existuje množina b, která obsahuje právě všechny podmnožiny množiny a.
* '''Axiom nekonečna''': <math>\scriptstyle (\exists a)(\emptyset \isin a \and (x \isin a \implies x \cup \{ x \} \isin a))</math>
* '''Axiom fundovanosti''': <math>\scriptstyle (\forall a)(a \neq \emptyset \implies (\exists b)(b \in a \and b \cap a = \emptyset))</math>

==== Zermelova-Fraenkelova teorie množin s&nbsp;axiomem výběru ====
{{Viz též|ZFC}}
Zkratkou '''ZFC''' je označována axiomatická soustava teorie množin, kterou tvoří axiomy Zermelo-Fraeneklovy teorie množin a [[axiom výběru]] (zkratka AC – z&nbsp;anglického ''axiom of choice'').
* '''Axiom výběru''': Na každé množině existuje [[selektor]].<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Balcar
 | jméno = Bohuslav
 | příjmení2 = Štěpánek
 | jméno2 = Petr
 | titul = Teorie množin
 | url = https://archive.org/details/teoriemnoin00bohu
 | odkaz na titul = 
 | vydání = 2
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 2001
 | rok copyrightu = 2000
 | počet stran = 464
 | kapitola = I7
 | typ kapitoly = odstavec
 | strany = [https://archive.org/details/teoriemnoin00bohu/page/102 102]
 | typ svazku = 
 | isbn = 80-200-0470-X
}}</ref>
=== Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin ===
{{Viz též|Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin}}
'''Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin''' ('''NBG''', též '''(Von Neumannova)-Gödelova-Bernaysova teorie množin''', '''NGB''', '''GB''') se z&nbsp;hlediska své síly příliš neliší od ZF či ZFC – libovolný výrok o&nbsp;množinách je v&nbsp;'''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v&nbsp;'''ZF''' – mluvíme tedy o&nbsp;teorii '''NBG''' jako o&nbsp;[[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''ZF''' (říkáme také, že '''NBG''' a '''ZF''' jsou ekvikonzistentní).<ref name="MathWorldNBG">{{Citace elektronické monografie
 | příjmení = Szudzik
 | jméno = Matthew
 | titul = "von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein
 | url = http://mathworld.wolfram.com/vonNeumann-Bernays-GoedelSetTheory.html
 | datum přístupu = 2010-10-08
 | vydavatel = Wolfram
 | místo = 
 | jazyk = anglicky
}}</ref><ref>{{Citace monografie | příjmení = Sochor | jméno = Antonín | odkaz na autora = | titul = Metamatematika teorií množin | vydavatel = Karolinum | místo = Praha | rok = 2005 | počet stran = 205 | kapitola = Paragraf 4 | strany = 55 | isbn = 80-246-1160-0 | jazyk =}}</ref> Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v&nbsp;použitém jazyku a v&nbsp;počtu axiomů. NBG jich má konečný počet díky použití vlastních tříd.<ref name="MathWorldNBG" /><ref>{{Citace monografie | příjmení = Sochor | jméno = Antonín | odkaz na autora = | titul = Metamatematika teorií množin | vydavatel = Karolinum | místo = Praha | rok = 2005 | počet stran = 205 | strany = 19 | isbn = 80-246-1160-0 | jazyk =}}</ref>

Na rozdíl od '''ZFC''', jejímž objektem jsou pouze množiny, zatímco [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v&nbsp;'''NBG''' jsou množiny i&nbsp;třídy objektem teorie množin – na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení – jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:
: <math>\scriptstyle Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math>.
Někdy se k&nbsp;axiomům '''NBG''' přidává ještě takzvaný axiom výběru či [[Axiom silného výběru|silný axiom výběru]]. Výsledná teorie se pak značí '''NBG+AS'''{{Doplňte zdroj}}.

Na rozdíl od '''ZF''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů – nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.<ref name="MathWorldNBG" /><!-- A radši ještě jeden -->

Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné)<ref>{{Citace monografie
 | titul = Set Theory and the Continuum Hypothesis
 | url = https://archive.org/details/settheorycontin00cohe
 | jméno = Paul J.
 | příjmení = Cohen
 | vydavatel = Benjamin
 | místo = New York
 | rok = 1966
 | počet stran = 160
 | citace = "Two types of variables are thus used in GB. Upper case letters denote class variables and lower case letter, set variables.
}}</ref>:
* '''axiom definice množiny''': <math>\scriptstyle (\exists x)(x=X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \in Y)</math>
* '''axiom existence množiny''': <math>\scriptstyle (\exist X,Y)(X\in Y)</math>
* '''axiom extenzionality pro třídy''': <math>\scriptstyle (\forall X,Y)(X=Y \Leftrightarrow (\forall e)(e \in X \Leftrightarrow e\in Y)</math>
* '''schéma existence tříd''': <math>\scriptstyle (\exists Z)(\forall e)(e\in Z \Leftrightarrow \Phi)</math> kde <math>\scriptstyle \Phi</math> je formule v&nbsp;níž jsou kvantifikovány pouze množinové proměnné
* '''axiom dvojice''': <math>\scriptstyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e \in z \Leftrightarrow (e=x \vee e=y))</math>
* '''axiom nahrazení''': <math>\scriptstyle (\forall F)((\forall y,e_1,e_2)((<y,e_1> \in F \and <y,e_2>\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \and <y,e>\in F)))</math>

=== Kelleyova-Morseova teorie množin ===
{{Viz též|Kelleyova-Morseova teorie množin}}
'''Kelleyova-Morseova teorie množin''' (označovaná též '''KM''') je teorie silnější než jsou klasické axiomatizace Zermelova-Fraenkelova (ZF) a Von Neumannova-Gödelova-Bernaysova (NGB).<ref>{{Citace monografie | příjmení = Sochor | jméno = Antonín | odkaz na autora = | titul = Metamatematika teorií množin | vydavatel = Karolinum | místo = Praha | rok = 2005 | počet stran = 205 | kapitola = Paragraf 2 | strany = 47 | isbn = 80-246-1160-0 | jazyk =}}</ref> V&nbsp;'''KM''' je dokazatelná (formální) konzistence '''ZF'''{{Doplňte zdroj}}.

Axiomatizace '''KM''' je velmi podobná axiomatizaci '''GB''', liší se pouze ve schématu existence tříd, kde (na rozdíl od '''GB''') připouští existenci třídy odpovídající libovolné formuli. Tato zdánlivě drobná odlišnost je však příčinou toho, že '''KM''' je nesrovnatelně silnější teorií než '''GB''' i&nbsp;'''[[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|ZF]]'''.{{Doplňte zdroj}}

Je založena na těchto axiomech (malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové) proměnné):<ref>[http://books.google.com/books?id=eNewtIJZ-7UC&printsec=frontcover&hl=cs&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false R.B. Chuaqui, Axiomatic set theory]</ref>
* '''axiom definice množiny''': <math>\scriptstyle (\exists x)(x=X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \in Y)</math>
* '''axiom existence množiny''': <math>\scriptstyle (\exist X,Y)(X\in Y)</math>
* '''axiom extenzionality pro třídy''': <math>\scriptstyle (\forall X,Y)(X=Y \Leftrightarrow (\forall e)(e \in X \Leftrightarrow e\in Y)</math>
* '''schéma existence tříd''': <math>\scriptstyle (\exists Z)(\forall e)(e\in Z \Leftrightarrow \Phi)</math> kde <math>\Phi</math> je libovolná formule jazyka teorie množin
* '''axiom dvojice''': <math>\scriptstyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e \in z \Leftrightarrow (e=x \vee e=y))</math>
* '''axiom nahrazení''': <math>\scriptstyle (\forall F)((\forall y,e_1,e_2)((<y,e_1> \in F \and <y,e_2>\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \and <y,e>\in F)))</math>

=== New Foundations ===
[[New Foundations]] ('''NF''') je axiomatizace, kterou vyvinul [[Willard van Orman Quine]]. Jedná se o&nbsp;zjednodušení [[teorie typů]] z&nbsp;knihy Principia Mathematica. Na rozdíl od teorie typů nepoužívá hierarchii typů. Axiomy NF jsou nezávislé na axiomu výběru.<ref>{{Citace elektronického periodika |titul=New Foundations home page - Big problem |url=http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html#Problem |datum přístupu=2011-05-17 |url archivu=https://web.archive.org/web/20200321023959/https://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html#Problem |datum archivace=2020-03-21 }}</ref>

Je založena na těchto axiomech:<ref name="NF Def">{{Citace elektronického periodika |titul=New Foundations home page - Definition |url=http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html#Definition |datum přístupu=2011-05-17 |url archivu=https://web.archive.org/web/20200321023959/https://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html#Definition |datum archivace=2020-03-21 }}</ref>
* '''axiom extenzionality''': Dva objekty jsou stejné, pokud se skládají ze stejných prvků.
* '''schéma axiomů vydělení''': Množina <math>\{x | P \}</math> existuje, když <math>P</math> je formule logiky prvního řádu, která může být odvozena z&nbsp;dobře definované formule teorie typů odstraněním všech indexů typů (za zajištění toho, že proměnné různých typů nesplynou).

Schéma axiomů vydělení, může být nahrazeno konečně mnoha svými případy. Použití konečné axiomatizace odstraňuje nutnost v&nbsp;definicích zmiňovat typy.<ref name="NF Def" /><ref>Hailperin, T. “A&nbsp;set of axioms for logic,” [[Journal of Symbolic Logic]] 9, pp. 1-19.</ref>

Často se používá ve schématu vydělení koncept vrstvené formule ({{Vjazyce2|en|''stratified formula''}}). (Řekneme, formule <math>\phi</math> je vrstvená, jestliže existuje [[funkce (matematika)|funkce)]] f taková, že všem objektům univerza vrátí přirozené číslo a pro <math>x \in y</math> platí <math>f(y) = f(x) + 1</math> a pro <math>x=y</math> platí <math>f(y) = f(x)</math>. Schéma axiomů vydělení pak zní:
:<math>\{x \mid \phi \}</math> existuje pro každou vrstvenou formuli <math>\phi</math>.<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/ Forster, Thomas, "Quine's&nbsp;New Foundations", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.)]</ref>

=== Teorie polomnožin ===
{{Viz též|Teorie polomnožin}}
'''Teorie polomnožin''' byla vyvinuta v&nbsp;70. a 80. letech [[20. století]] [[Petr Vopěnka|Petrem Vopěnkou]] a [[Petr Hájek (matematik)|Petrem Hájkem]]{{Doplňte zdroj}}. Její axiomatizace je podobná Von Neumannově-Gödelově-Bernaysově teorii množin, ale liší se tím, že umožňuje existenci vlastních tříd, které jsou částí nějaké množiny (<math>\scriptstyle X \subseteq y</math>). Tato vlastnost umožňuje polomnožinám sloužit jako základ Vopěnkovy [[alternativní teorie množin]]<ref>http://eom.springer.de/A/a110560.htm Springer, Encyclopaedia of Mathematics: Petr Vopěnka - Alternative set theory<!-- do šablony --></ref>

=== Axiomatizace konečných množin ===
K některým axiomatizacím teorie množin lze nadefinovat i odpovídající axiomatizace konečných množin.

Například '''ZF<sub>Fin</sub>''' získáme ze '''ZF''' tak, že axiom nekonečna nahradíme jeho negací.<ref>{{Citace monografie | příjmení = Sochor | jméno = Antonín | odkaz na autora = | titul = Metamatematika teorií množin | vydavatel = Karolinum | místo = Praha | rok = 2005 | počet stran = 205 | strany = 17 | isbn = 80-246-1160-0 | jazyk =}}</ref> Obdobně se získají '''NBG<sub>Fin</sub>''' (respektive '''KM<sub>Fin</sub>''').

Dá se dokázat, že:
* všechny uvedené teorie jsou bezesporné.<ref group=pozn>Stačí si uvědomit, že konečné teorie jsou slabší než odpovídající teorie s nekonečny.</ref>
* '''KM<sub>Fin</sub>''' je ostře silnější než '''ZF<sub>Fin</sub>'''.

== Odkazy ==
=== Poznámky ===
<references group="pozn"/>

=== Reference ===
<references />

{{Teorie množin}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Teorie množin]]