Zobrazení zdroje stránky Algoritmus pro výpočet dne v týdnu

'''Algoritmus pro výpočet dne v&nbsp;týdnu''' neboli '''Zellerův algoritmus''' je postup, jak ze zadaného data (např. „13.&nbsp;února 2011“) zjistit, o&nbsp;jaký den v&nbsp;týdnu se jedná (výstupem je tedy „neděle“). Pro tento účel je také možno použít takzvaný [[věčný kalendář]], což je tabulka, z&nbsp;níž lze odečíst, na který den týdne datum připadá,<ref>VOLFOVÁ, Marta. ''Věčný kalendář''. Rozhledy matematicko-fyzikální, Praha, JČMF. ISSN 0035-9343, 2006, vol.&nbsp;81 (2006), no.&nbsp;2, s.&nbsp;1–6. ([http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Default.aspx?PorZobr=19&PolozkaID=21&ClanekID=162 online] {{Wayback|url=http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Default.aspx?PorZobr=19&PolozkaID=21&ClanekID=162 |date=20160306152225 }})</ref> avšak pro počítač je jednodušší přímý výpočet pomocí vhodného [[algoritmus|algoritmu]]. K&nbsp;tomuto účelu lze použít právě Zellerův algoritmus, jehož autorem je německý matematik devatenáctého století [[Christian Zeller]].<ref>ŠIMŠA, Jaromír. ''Zellerův výpočet dne v&nbsp;týdnu''. Rozhledy matematicko-fyzikální, Praha, JČMF. ISSN 0035-9343, 2006, vol.&nbsp;81 (2006), no.&nbsp;2, s.&nbsp;7–15. ([http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Default.aspx?PorZobr=19&PolozkaID=21&ClanekID=162 online] {{Wayback|url=http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Default.aspx?PorZobr=19&PolozkaID=21&ClanekID=162 |date=20160306152225 }})</ref> Jeho postup vychází z&nbsp;čísla dne, měsíce, roku a století a počítá z&nbsp;těchto vstupních údajů na základě vzorce číslo, jež dává při dělení sedmi stejný zbytek jako pořadové číslo daného dne v&nbsp;týdnu, takže zbytku 1 odpovídá pondělí, zbytku 2 úterý až zbytku 7, tedy 0, neděle.

== Zellerův algoritmus ==

=== Vzorce ===
Pro [[gregoriánský kalendář]] má Zellerův algoritmus tvar:

:<math>h = \left(q + \left\lfloor\frac{13(m+1)}{5}\right\rfloor + K + \left\lfloor\frac{K}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{J}{4}\right\rfloor - 2J\right) \mod 7,</math>

Pro [[juliánský kalendář]] má Zellerův algoritmus tvar:

:<math>h = \left(q + \left\lfloor\frac{13(m+1)}{5}\right\rfloor + K + \left\lfloor\frac{K}{4}\right\rfloor + 5 - J\right) \mod 7,</math>

kde
* <math>\lfloor \rfloor</math> značí [[Celé číslo|celou]] část čísla (podíl [[dělení se zbytkem]]) a <math>mod</math> [[zbytek po dělení]]
* ''h'' je [[den v týdnu]]: 0 = sobota, 1 = neděle, ..., 6 = pátek
* ''q'' je den v měsíci
* ''m'' je měsíc: 13* = leden, 14* = únor, 3 = březen, 4 = duben, ..., 12 = prosinec
* ''K'' je rok 0–99 století (<math>rok\mod 100</math>), pro leden a únor o jednu nižší (počítají se do předchozího roku)*
* ''J'' je druhá část letopočtu – číslo tvořené prvními dvěma číslicemi (<math>\lfloor rok/100 \rfloor</math>), např. pro 2017 je J = 20

Poznámka: *V tomto algoritmu datum '''D.M.RRRR''' odpovídá proměnným '''q.m.JK''', ale leden a únor jsou kvůli [[Přestupný rok|přestupným rokům]] počítány jako 13. a 14. měsíc předchozího roku. Například datum 2. února 2010 algoritmus počítá jako 2. den 14. měsíce roku 2009.

Pro převod na den v týdnu začínající pondělím ''d'' (1 = Pondělí až 7 = Neděle) použijeme:
:<math>d = ((h + 5) \mod 7) + 1.</math>

=== Implementace do programu ===
Vzorce jsou založeny na matematické definici a definicí [[modulo]] tedy zbytek po dělení, což znamená, že -2 mod 7 se rovná +5. Avšak způsob, jakým je ve většině počítačových jazycích definován zbytek po dělení, tomuto neodpovídá, takže -2 mod 7 vrátí výsledek -2. Z tohoto důvodu musí být Zellerovy vzorce upraveny a zajistit tak kladné čitatele.
Nejjednodušší způsob, jak to udělat, je nahradit - 2 J o + 5 - J a J o + 6 J.
Dostaneme tedy vzorce:

Pro Gregoriánský kalendář má tvar:

:<math>h = \left(q + \left\lfloor\frac{13(m+1)}{5}\right\rfloor + K + \left\lfloor\frac{K}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{J}{4}\right\rfloor + 5J\right) \mod 7,</math>

a pro Juliánský kalendář má tvar:

:<math>h = \left(q + \left\lfloor\frac{13(m+1)}{5}\right\rfloor + K + \left\lfloor\frac{K}{4}\right\rfloor + 5 + 6J\right) \mod 7{.}</math>

Je snadno vidět, že v daném roce 1. března (pokud je to sobota, tak 2. března) je vhodné k otestování data. A to tak, že v daném století je nejvhodnější k testu rok dělitelný 100.

Zeller používá desetinné počty, a nachází tak vhodné ''J'' a ''K'', které reprezentují daný rok. Ale když používáme počítač, je jednodušší použít modifikované ''Y'', které je Y - 1 během ledna a února:

Pro Gregoriánský kalendář má tvar:

:<math>h = \left(q + \left\lfloor\frac{(m+1)26}{10}\right\rfloor + Y + \left\lfloor\frac{Y}{4}\right\rfloor + 6\left\lfloor\frac{Y}{100}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{Y}{400}\right\rfloor\right) \mod 7,</math>

a pro Juliánský kalendář má tvar:

:<math>h = \left(q + \left\lfloor\frac{(m+1)26}{10}\right\rfloor + Y + \left\lfloor\frac{Y}{4}\right\rfloor + 5\right) \mod 7{.}</math>

== Analýza ==
{{upravit část|poznámky=místy nečesky}}
Tyto vzorce jsou založeny na pozorování, že den v týdnu, postupuje předvídatelným způsobem, založené na každé hlavě po tomto dni. Každý termín ve vzorci je použit pro výpočet vyrovnání potřebné pro získání správného dne v týdnu.

Pro gregoriánský kalendář lze různé části tohoto vzorce tedy chápat takto:
* <math>q</math> představuje průběh dne v týdnu na základě dne v měsíci, od té doby má každý následující den za následek další posun jeden den v týdnu.
* <math>K</math> představuje průběh dne v týdnu na základě roku. Za předpokladu, že každý rok má 365 dnů, stejné datum v každém následujícím roce budou dány hodnotou <math>365\mod 7 = 1</math>.
* Protože je 366 dnů v přestupném roce, musí to být ošetřeno tím, že se přidá další den na den v týdnu. Tím dosáhneme toho, že <math>\left\lfloor\frac{K}{4}\right\rfloor</math> je přičteno k vyrovnání. Tento termín se vypočítá jako celočíselný výsledek. Jakýkoliv zbytek je vyloučen.
* Pomocí podobné logiky, můžeme průběh dne v týdnu pro každé století vypočítat tím, že pozorujeme, že existuje 36524 dní v běžném století a 36525 dní v každém století dělitelném 400. Tedy <math>36525\mod 7 = 6</math> a <math>36524\mod 7 = 5</math>, výraz :<math>\left\lfloor\frac{J}{4}\right\rfloor - 2J</math> odpovídá za to (opět pomocí celočíselné dělení a odkládání jakékoliv frakčního zbytku). To Aby se zabránilo záporným číslům, může tento termín nahradit :<math>\left\lfloor\frac{J}{4}\right\rfloor + 5J</math> s odpovídajícími výsledky.
* Termín lze vysvětlit následovně: <math>\left\lfloor\frac{(m+1)26}{10}\right\rfloor</math>. Zeller vypozoroval, že každý rok začíná 1. března, den v týdnu každého následujícího měsíce dostáváme násobením konstantní hodnotou a neuvažujeme žádný frakční zbytek.

Celková funkce <math>\mod 7</math>, normalizuje výsledek v rozmezí od 0 do 6, který určuje správný den v týdnu pro datum.

Důvodem, že se vzorec liší od juliánského kalendáře je, že tento kalendář nemá zvláštní pravidlo pro přestupná století a jeho posun je na rozdíl od gregoriánského kalendáře dán pevným počtem dnů v každém století.

Vzhledem k tomu, že gregoriánský kalendář byl přijat v různých obdobích v různých regionech světa. Místo události, k níž došlo během tohoto přechodného období, je významné pro určení správného dne v týdnu.

Vzorce lze použít neomezeně, ale musíme dbát na to, že pro letopočet před rokem 0. je třeba přidat dostatečný násobek 400 pro Gregoriánský kalendář nebo 28 let pro Juliánský kalendář.

== Odkazy ==

=== Reference ===
{{Překlad|en|Zeller's congruence|495226539}}
<references />

=== Související články ===
* [[Nedělní písmeno]]
* [[Výpočet data Velikonoc]]

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Dny v týdnu]]
[[Kategorie:Kalendářní výpočty]]
[[Kategorie:Algoritmy|Výpočet dne v týdnu]]