Zobrazení zdroje stránky Šestnáctková soustava

{{Upravit}}
{{Číselné soustavy}}
'''Šestnáctková soustava''' (též '''hexadecimální soustava''') je [[číselná soustava]] [[Poziční číselná soustava#Základní informace|základu]] 16. Slovo ''hexadecimální'' pochází z [[Řečtina|řeckého]] slova έξι (''hexi'') znamenajícího „šest“, a [[Latina|latinského]] slova ''decem'', které znamená „deset“. Hexadecimální čísla se zapisují pomocí číslic '0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8' a '9' a písmen 'A', 'B', 'C', 'D', 'E' a 'F', přičemž písmena 'A'–'F' reprezentují cifry s hodnotou 10–15. Např. 3F7<sub>16</sub> reprezentuje hodnotu, které v [[desítková soustava|desítkové soustavě]] odpovídá číslu 3×16<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;15×16<sup>1</sup>&nbsp;+&nbsp;7×16<sup>0</sup>&nbsp;=&nbsp;1015. Díky jednoduchému vzájemnému převodu mezi šestnáctkovou a [[dvojková soustava|dvojkovou]] soustavou, se hexadecimální zápis čísel často používá v oblasti [[Informatika|informatiky]], například pro [[Adresa (informatika)|adresy]] v [[Operační paměť|operační paměti]] počítače.

== Význam a použití ==
{{Šestnáctková soustava}}
V podstatě všechny současné [[počítač]]e pracují ve dvojkové soustavě, protože je to z konstrukčního hlediska nejvýhodnější. Mnohaciferná dvojková čísla jsou však pro člověka dlouhá a nepřehledná. Proto se při programování počítačů často vyjadřují dvojková čísla a kódy v šestnáctkové, případně [[Osmičková soustava|osmičkové soustavě]], kde je počet cifer 4x resp. 3x menší.

Základ hexadecimální soustavy, číslo 16, je rovno 2<sup>4</sup>. Jedna hexadecimální číslice tedy reprezentuje právě 4 dvojkové číslice ([[bit]]y), čili jeden [[nibble]] (půl [[bajt]]u). Například všechny hodnoty uložitelné do jednoho bajtu lze vyjádřit právě dvěma šestnáctkovými číslicemi (00<sub>16</sub>–FF<sub>16</sub>).

== Zápis hexadecimálních čísel ==
V matematice se šestnáctková čísla označují dolním indexem 16, H nebo hex. Do počítače se hexadecimální čísla zapisují různě, podle konvence používané konkrétním [[programovací jazyk|programovacím jazykem]] nebo souborovým formátem. V [[C (programovací jazyk)|programovacím jazyce C]] se před šestnáctkové číslo klade předpona <tt>0x</tt>, např. <tt>0xAB</tt>. V některých speciálních situacích se používá pouze předpona <tt>x</tt>, např. při zadávání znaku pomocí [[escape sekvence]] je možno napsat <tt>\xAB</tt>. V [[Jazyk symbolických adres|jazyce symbolických adres]] (assembleru) se hexadecimální číslice obvykle označují předponou <tt>$</tt> (např. <tt>$AB</tt>), nebo příponou <tt>h</tt> (např. <tt>0ABh</tt>). V programovacích jazycích používajících zápis typu <tt>1Fh</tt> je před číslo začínající cifrou A–F třeba napsat nevýznamnou nulu, aby se poznalo, že se jedná o číslo, nikoli o identifikátor proměnné (<tt>Dech</tt> je identifikátor, <tt>0Dech</tt> je číslo).

Pro hexadecimální zápis desítkového čísla 225 se používají následující notace:
* E1<sub>16</sub>, E1<sub>hex</sub>, E1<sub>H</sub> – matematický zápis
* 0xE1 – zápis v [[C (programovací jazyk)|programovacím jazyce C]], C++ a v jazycích vycházejících ze syntaxe C-jazyka
* 0E1h – zápis ve většině [[assembler]]ů (když číslo nezačíná desítkovou číslicí, tak je 0 na počátku povinná, 'h' může být malé i velké)
* $E1 – [[Pascal (programovací jazyk)|jazyk Pascal]], některé assemblery
* #0000E1 – zápis kódu barvy v [[HyperText Markup Language|HTML]] a [[Kaskádové styly|CSS]] (šest číslic, první dvojčíslí je intenzita červené, druhá zelené, třetí modré; případně tři číslice – jedna pro každou složku)
* U+00E1 – kód znaku [[UNICODE]] (unikód znaku malé dlouhé A – „á“; zpravidla uvádíme minimálně 4 číslice, kvůli [[UTF-16]])
* &HE1 – jazyk [[Visual Basic]]

Při zápisu hexadecimálních čísel většinou nehraje roli, zda se pro cifry s hodnotou 10 až 15 použijí velká písmena 'A' až 'F' nebo malá písmena 'a' až 'f'.

== Převody čísel ==
Převodem čísel zde zpravidla rozumíme převod z hexadecimální soustavy do dekadické, nebo z dekadické do hexadecimální, mohli bychom uvažovat také dvojkovou soustavu nebo osmičkovou soustavu, jiné číselné soustavy
se běžně nepoužívají.

Hexadecimální desetinná čísla lze vždy převést beze zbytku do desítkové soustavy, avšak dekadická desetinná čísla se často promítnou do šestnáctkové soustavy jako periodická (např. 0,2<sub>10</sub> = 0,333333...<sub>16</sub>).

=== Převod celých desítkových čísel na šestnáctkové ===
Celá desítková čísla můžeme převádět na šestnáctková například pomocí postupného dělení šestnácti a sepisování zbytku po dělení.

Mějme například číslo <math>x = (15119)_{10}</math> v dekadické soustavě. Převod provádíme tak, že číslo <math>x</math> dělíme šestnácti a výsledek ([[Dělení|podíl]]) píšeme v celých číslech. Při dělení vzniká zbytek, který si napíšeme. Vzniklý podíl opětovně dělíme šestnácti a zbytek zapisujeme, dokud nedostaneme nulu. Když přečteme zbytky v obráceném pořadí jako šestnáctkové číslice, dostáváme šestnáctkové číslo:

{|  border=0 
| 15119 / 16 
| = 944 zbytek 15  
| (F)<sub>16</sub>
|- 
| 944 / 16   
| = 59  zbytek  0  
| (0)<sub>16</sub>
|- 
| 59 / 16    
| =  3  zbytek 11  
| (B)<sub>16</sub>
|- 
| 3 / 16     
| =  0  zbytek  3  
| (3)<sub>16</sub>
|}

Když přepíšeme zbytky v opačném pořadí, dostaneme šestnáctkové číslo 3B0F<sub>16</sub>.

=== Převod celých šestnáctkových čísel na desítkové ===
Výpočet hodnoty hexadecimálního čísla, které se skládá z <math>k</math> číslic <math>x_0 x_1 \ldots x_{(k-1)}</math>, nabývající hodnoty 0–9, A, B, C, D, E, F se provádí podle následujícího vzorce:

<math>x=\sum_{i=0}^{k-1} {x_i}\cdot16^{i}</math>

Tedy například číslo v hexadecimální soustavě zapsané jako 3B0F znamená v desítkové soustavě číslo 15119:

<math>\ x_3 = 3; x_2 = {\rm B} \equiv 11; x_1 = 0; x_0 = {\rm F} \equiv 15</math>

<math>({\rm 3B0F})_{16} = \sum_{i=0}^{k-1} {x_i}\cdot16^{i} = x_3\cdot 16^3 +\ x_2\cdot 16^2 +\ x_1\cdot 16^1 +\ x_0\cdot 16^0</math>
<math>= 3\cdot 16^3 +\ 11\cdot 16^2 +\ 0\cdot 16^1 +\ 15\cdot 16^0 = 12288\ +\ 2816\ +\ 0\ +\ 15\ = (15119)_{10}</math>

{| class="wikitable"
|rozepsané hex. číslo||3||B||0||F
|-align=center 
|násobeno||16<sup>3</sup>||16<sup>2</sup> ||16<sup>1</sup>||16<sup>0</sup>
|-
|rozepsaný násobek||'''12288'''||'''2816'''||0||'''15'''
|}

=== Převod šestnáctkových čísel na dvojkové ===
Převod čísla z hexadecimální soustavy do [[Dvojková soustava|soustavy dvojkové (binární)]] je usnadněn díky tomu, že číslo 16 je [[mocnina|mocninou]] čísla 2 (2<sup>4</sup> = 16). Postup převodu je následovný. Rozdělíme [[Bajt|byte]] reprezentovaný dvěma šestnáctkovými čísly na [[nibble|nibbly]] ({{Zlomek|2}}&nbsp;bytu&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;písmeno) a každý [[nibble|nibbl]] převedeme pomocí následující tabulky do jeho [[Dvojková soustava|dvojkové]] (binární) reprezentace.

{| align="center" class="wikitable"
!align="center"|Šestnáctkové číslo
|align="center"|'''0'''
|align="center"|'''1'''
|align="center"|'''2'''
|align="center"|'''3'''
|align="center"|'''4'''
|align="center"|'''5'''
|align="center"|'''6'''
|align="center"|'''7'''
|align="center"|'''8'''
|align="center"|'''9'''
|align="center"|'''A'''
|align="center"|'''B'''
|align="center"|'''C'''
|align="center"|'''D'''
|align="center"|'''E'''
|align="center"|'''F'''
|-
!align="center"|Dekadické číslo
|align="center"|'''0'''
|align="center"|'''1'''
|align="center"|'''2'''
|align="center"|'''3'''
|align="center"|'''4'''
|align="center"|'''5'''
|align="center"|'''6'''
|align="center"|'''7'''
|align="center"|'''8'''
|align="center"|'''9'''
|align="center"|'''10'''
|align="center"|'''11'''
|align="center"|'''12'''
|align="center"|'''13'''
|align="center"|'''14'''
|align="center"|'''15'''
|-
!Binární číslo||0000||0001||0010||0011||0100||0101||0110||0111||1000||1001||1010||1011||1100||1101||1110||1111
|}
Po převodu opět spojíme [[nibble|nibbly]] (teď již ve [[Dvojková soustava|dvojkové (binární) reprezentaci]]) do jednoho [[Bajt|bytu]] (teď již ve [[Dvojková soustava|dvojkové (binární) reprezentaci]]).

'''Příklad:''' Chceme číslo (3F 5A)<sub>16</sub> = (16218)<sub>10</sub> převést do [[Dvojková soustava|dvojkové (binární) soustavy]].

Rozdělíme si číslo (dvojbajtové) na jednotlivé [[nibble|nibbly]] – '''3''', '''F''', '''5''', '''A'''. Každý [[nibble|nibbl]] převedeme podle výše uvedené tabulky do jeho [[Dvojková soustava|dvojkové (binární) reprezentace]]:
:'''3''' = 0011
:'''F''' = 1111
:'''5''' = 0101
:'''A''' = 1010

A převedené [[nibble|nibbly]] opět spojíme dohromady (3F 5A)<sub>16</sub> = (00111111 01011010)<sub>2</sub>.

=== Převod z dvojkové soustavy do šestnáctkové ===
Algoritmus převodu je přesně opačný, než u [[#Převod HEX do binární soustavy|převádění HEX do binární soustavy]]. Nejprve rozdělíme [[Bajt|byty]] na [[nibble|nibbly]], které pomocí výše uvedené tabulky převedeme na jednotlivé [[číslice]] v hexadecimální soustavě, které spojíme dohromady.

==== Příklad 1 ====
Chceme číslo (11001101)<sub>2</sub> převést do hexadecimální soustavy.

Nejprve rozdělíme číslo na jednotlivé [[nibble|nibbly]] – '''1100''','''1101'''. A každý [[nibble|nibbl]] převedeme pomocí výše zmíněné tabulky:<br/>
'''1100''' = C<br/>
'''1101''' = D

Převedené [[nibble|nibbly]] opět spojíme dohromady (11001101)<sub>2</sub> = (CD)<sub>16</sub>. Tím jsme pomocí tabulky získali ''přímý'' převod binárního čísla do hexa formy.

==== Příklad 2 ====
Tabulku není třeba si pamatovat, binární hodnoty lze do hexa převádět i zprostředkovaně přes dekadické hodnoty:
Danou hodnotu (100101101)<sub>2</sub> rozdělíme na již zmíněné nibbly (vždy zprava):<br/>
1&nbsp;0010&nbsp;1101

Označíme pozice a jejich hodnoty, 1<sub>8</sub>1<sub>4</sub>1<sub>2</sub>1<sub>1</sub>, takže pokud dle pozic sečteme hodnoty u všech jedniček, získáme dekadickou hodnotu nibblu, zde:<br/>
0<sub>8</sub> 0<sub>4</sub> 0<sub>2</sub> 1<sub>1</sub> = 1<br/>
0<sub>8</sub> 0<sub>4</sub> 1<sub>2</sub> 0<sub>1</sub> = 2<br/>
1<sub>8</sub> 1<sub>4</sub> 0<sub>2</sub> 1<sub>1</sub> = 8 + 4 + 1 = (13)<sub>10</sub> = D<sub>H</sub>

Číslo už teď stačí jen konečně sepsat do hexa: (12D)<sub>16</sub> nebo počítačově 0x12D.

==== Převodní tabulka ====
Do jednoho [[bajt]]u lze uložit čísla v rozsahu 0 až FF<sub>16</sub> nebo dekadicky 0 až 255<sub>10</sub>. Pomocí následující tabulky převedeme hexadecimální byte tak, že ve sloupci najdeme první cifru a v řádku druhou cifru. Např. pro číslo C5<sub>16</sub> najdeme v řádku „C0“ a sloupci „+05“ dekadickou hodnotu 197.

{| align="center" class="wikitable"
|-
!HEX/DEC
!+0<sub>16</sub>
!+1<sub>16</sub>
!+2<sub>16</sub>
!+3<sub>16</sub>
!+4<sub>16</sub>
!+5<sub>16</sub>
!+6<sub>16</sub>
!+7<sub>16</sub>
!+8<sub>16</sub>
!+9<sub>16</sub>
!+A<sub>16</sub>
!+B<sub>16</sub>
!+C<sub>16</sub>
!+D<sub>16</sub>
!+E<sub>16</sub>
!+F<sub>16</sub>
|-
!00<sub>16</sub>
| align="center" |0
| align="center" |1
| align="center" |2
| align="center" |3
| align="center" |4
| align="center" |5
| align="center" |6
| align="center" |7
| align="center" |8
| align="center" |9
| align="center" |10
| align="center" |11
| align="center" |12
| align="center" |13
| align="center" |14
| align="center" |15
|-
!10<sub>16</sub>
| align="center" |16
| align="center" |17
| align="center" |18
| align="center" |19
| align="center" |20
| align="center" |21
| align="center" |22
| align="center" |23
| align="center" |24
| align="center" |25
| align="center" |26
| align="center" |27
| align="center" |28
| align="center" |29
| align="center" |30
| align="center" |31
|-
!20<sub>16</sub>
| align="center" |32
| align="center" |33
| align="center" |34
| align="center" |35
| align="center" |36
| align="center" |37
| align="center" |38
| align="center" |39
| align="center" |40
| align="center" |41
| align="center" |42
| align="center" |43
| align="center" |44
| align="center" |45
| align="center" |46
| align="center" |47
|-
!30<sub>16</sub>
| align="center" |48
| align="center" |49
| align="center" |50
| align="center" |51
| align="center" |52
| align="center" |53
| align="center" |54
| align="center" |55
| align="center" |56
| align="center" |57
| align="center" |58
| align="center" |59
| align="center" |60
| align="center" |61
| align="center" |62
| align="center" |63
|-
!40<sub>16</sub>
| align="center" |64
| align="center" |65
| align="center" |66
| align="center" |67
| align="center" |68
| align="center" |69
| align="center" |70
| align="center" |71
| align="center" |72
| align="center" |73
| align="center" |74
| align="center" |75
| align="center" |76
| align="center" |77
| align="center" |78
| align="center" |79
|-
!50<sub>16</sub>
| align="center" |80
| align="center" |81
| align="center" |82
| align="center" |83
| align="center" |84
| align="center" |85
| align="center" |86
| align="center" |87
| align="center" |88
| align="center" |89
| align="center" |90
| align="center" |91
| align="center" |92
| align="center" |93
| align="center" |94
| align="center" |95
|-
!60<sub>16</sub>
| align="center" |96
| align="center" |97
| align="center" |98
| align="center" |99
| align="center" |100
| align="center" |101
| align="center" |102
| align="center" |103
| align="center" |104
| align="center" |105
| align="center" |106
| align="center" |107
| align="center" |108
| align="center" |109
| align="center" |110
| align="center" |111
|-
!70<sub>16</sub>
| align="center" |112
| align="center" |113
| align="center" |114
| align="center" |115
| align="center" |116
| align="center" |117
| align="center" |118
| align="center" |119
| align="center" |120
| align="center" |121
| align="center" |122
| align="center" |123
| align="center" |124
| align="center" |125
| align="center" |126
| align="center" |127
|-
!80<sub>16</sub>
| align="center" |128
| align="center" |129
| align="center" |130
| align="center" |131
| align="center" |132
| align="center" |133
| align="center" |134
| align="center" |135
| align="center" |136
| align="center" |137
| align="center" |138
| align="center" |139
| align="center" |140
| align="center" |141
| align="center" |142
| align="center" |143
|-
!90<sub>16</sub>
| align="center" |144
| align="center" |145
| align="center" |146
| align="center" |147
| align="center" |148
| align="center" |149
| align="center" |150
| align="center" |151
| align="center" |152
| align="center" |153
| align="center" |154
| align="center" |155
| align="center" |156
| align="center" |157
| align="center" |158
| align="center" |159
|-
!A0<sub>16</sub>
| align="center" |160
| align="center" |161
| align="center" |162
| align="center" |163
| align="center" |164
| align="center" |165
| align="center" |166
| align="center" |167
| align="center" |168
| align="center" |169
| align="center" |170
| align="center" |171
| align="center" |172
| align="center" |173
| align="center" |174
| align="center" |175
|-
!B0<sub>16</sub>
| align="center" |176
| align="center" |177
| align="center" |178
| align="center" |179
| align="center" |180
| align="center" |181
| align="center" |182
| align="center" |183
| align="center" |184
| align="center" |185
| align="center" |186
| align="center" |187
| align="center" |188
| align="center" |189
| align="center" |190
| align="center" |191
|-
!C0<sub>16</sub>
| align="center" |192
| align="center" |193
| align="center" |194
| align="center" |195
| align="center" |196
| align="center" |197
| align="center" |198
| align="center" |199
| align="center" |200
| align="center" |201
| align="center" |202
| align="center" |203
| align="center" |204
| align="center" |205
| align="center" |206
| align="center" |207
|-
!D0<sub>16</sub>
| align="center" |208
| align="center" |209
| align="center" |210
| align="center" |211
| align="center" |212
| align="center" |213
| align="center" |214
| align="center" |215
| align="center" |216
| align="center" |217
| align="center" |218
| align="center" |219
| align="center" |220
| align="center" |221
| align="center" |222
| align="center" |223
|-
!E0<sub>16</sub>
| align="center" |224
| align="center" |225
| align="center" |226
| align="center" |227
| align="center" |228
| align="center" |229
| align="center" |230
| align="center" |231
| align="center" |232
| align="center" |233
| align="center" |234
| align="center" |235
| align="center" |236
| align="center" |237
| align="center" |238
| align="center" |239
|-
!F0<sub>16</sub>
| align="center" |240
| align="center" |241
| align="center" |242
| align="center" |243
| align="center" |244
| align="center" |245
| align="center" |246
| align="center" |247
| align="center" |248
| align="center" |249
| align="center" |250
| align="center" |251
| align="center" |252
| align="center" |253
| align="center" |254
| align="center" |255
|}

== Zlomky v šestnáctkové soustavě ==
* (1/2)<sub>10</sub> = (0,8)<sub>16</sub>
* (1/4)<sub>10</sub> = (0,4)<sub>16</sub>
* (1/8)<sub>10</sub> = (0,2)<sub>16</sub>
* (1/10)<sub>10</sub> = (0,199999…)<sub>16</sub>
* (1/16)<sub>10</sub> = (0,1)<sub>16</sub>
* (1/20)<sub>10</sub> = (0,0CCCCC…)<sub>16</sub>

== Srovnání číselných soustav ==
{{Srovnání číselných soustav|16}}

== Odkazy ==

=== Související články ===
* [[Číselná soustava]]
* [[Dvojková soustava|Binární soustava]]
* [[Osmičková soustava]]
* [[Endianita]]: [[Nejvýznamnější bit|MSB]], [[Nejméně významný bit|LSB]]

=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikiverzita|kurs=Číselné soustavy/Šestnáctková soustava}}
{{Autoritní data}}

[[Kategorie:Počítačová terminologie]]
[[Kategorie:Poziční číselné soustavy]]