Zobrazení zdroje stránky Úhel

[[Soubor:Angle.svg|alt=Dvě šikmé úsečky spojené v krajním bodě tvořící úhel.|náhled|Zeleně vyznačený úhel tvoří dvě červené [[Polopřímka|polopřímky]] vycházející ze stejného [[bod]]u (tzv. ramena úhlu), jenž tvoří vrchol úhlu. Obrázek je v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic.]]]]

'''Úhel''' (přesněji '''rovinný úhel'''<ref group="pozn.">přesnější pojem je důležitý u prostorových aplikací, pokud nevyplývá z kontextu</ref>) může být definován jako:<ref>{{Citace elektronické monografie
 | příjmení1 = Blažková
 | jméno1 = Růžena
 | titul = Úhel a jeho velikost. Studijní materiály předmětu Didaktika matematiky 3
 | url = https://is.muni.cz/el/1441/podzim2010/MA2MP_PDM3/um/uhel.pdf
 | vydavatel = Informační systém Masarykovy univerzity
 | datum_vydání = 2010-10-22
 | datum_přístupu = 2024-06-07
}}</ref>
* (jakožto ''rovinný útvar'') část [[Rovina|roviny]], která je ohraničena dvěma [[polopřímka]]mi se společným počátkem,
* (jakožto obecná geometrická struktura v rovině nebo v prostoru) dvojice polopřímek se společným počátkem nebo dvojice přímek se společným bodem,
* (ve smyslu ''orientovaný úhel'') [[Uspořádaná n-tice|uspořádaná dvojice]] dvou orientovaných přímek se společným bodem nebo dvou polopřímek se společným počátkem nebo veličina charakterizující polohový vztah mezi nimi.<ref>Geometrie: základy geometrie v rovině. Díl 1, Plzeň : Západočeská univerzita, 2002</ref>

V prostoru se kromě rovinného úhlu definuje [[prostorový úhel]] (jako útvar a jemu odpovídající veličina).

== Základní pojmy ==
[[Soubor:Uhel.jpg|alt=Úhel|náhled]]
* Polopřímky, které vymezují úhel v rovině, se nazývají ''ramena úhlu'', společný počáteční bod polopřímek se nazývá ''vrchol úhlu''.

* Do úhlu zahrnujeme i [[bod]]y ležící na polopřímkách ramen úhlu.

* [[Množina]] všech bodů úhlu, které neleží na žádné z polopřímek, se nazývá ''vnitřek úhlu''. Množina všech bodů roviny, které nepatří do úhlu, se nazývá ''vnějšek úhlu''.

Úhel se znázorňuje pomocí jeho ramen, mezi kterými se vyznačí oblouček kolem vrcholu úhlu. Zápis úhlu se provádí pomocí [[Řecké písmo|řeckého písmene]], např. <math>\alpha</math> (alfa), nebo pomocí symbolu úhlu a tří bodů v pořadí: pomocný bod na prvním rameně – vrchol – pomocný bod na druhém rameně, např. <math>\angle AVB</math> (vrchol úhlu leží na středním bodu).
<br clear="all" />

== Druhy úhlů ==
{| class="wikitable"
|+
! colspan="2" | Název úhlu
! Popis
! Podmínky
|-
| rowspan="6" |'''konvexní'''
|
|konvexní úhel je [[konvexní množina|konvexní obrazec]]; velikost takového úhlu je menší nebo rovna 180° (<math display=inline>\pi \, rad</math>) nebo rovna 360° (<math display=inline>2\pi \, rad</math>)
|α ≤ 180°
|-
|'''nulový'''
|úhel tvořený dvěma rameny, která jsou shodná a leží tedy na sobě (splývají v jednu [[Polopřímka|polopřímku]]); jeho velikost je rovna 0° (<math display=inline>0 \, rad</math>) a má nulovou plochu (jde jen o jednorozměrný objekt)
|α = 0°
|-
|'''ostrý'''
| úhel menší než [[pravý úhel]]; jeho velikost je větší než 0° (<math display=inline>0 \, rad</math>), ale menší než 90° (<math display=inline>\frac{\pi}{2} \, rad</math>)
|0° < α < 90°
|-
|'''[[pravý úhel]]'''
| je polovina přímého úhlu (označujeme ho tečkou v obloučku). Dvě přímky v pravém úhlu (tedy vzájemně [[Ortogonalita|kolmé]]) dělí plochu na 4 shodné [[Kvadrant (geometrie)|kvadranty]]; jeho velikost je 90° (<math display=inline>\frac{\pi}{2} \, rad</math>)
|α = 90°
|-
|'''tupý'''
| úhel větší než pravý úhel, ale menší než přímý úhel; jeho velikost je větší než 90° (<math display=inline>\frac{\pi}{2} \, rad</math>), ale menší než 180° (<math display=inline>\pi \, rad</math>)
|90° < α < 180°
|-
|'''vypuklý'''<ref name="Sekanina_1986">{{Citace monografie
 | příjmení = Sekanina
 | jméno = Milan
 | odkaz na autora = 
 | příjmení2 = Boček
 | jméno2 = Leo
 | odkaz na autora2 = 
 | příjmení3 = Kočandrle
 | jméno3 = Milan
 | odkaz na autora3 = 
 | příjmení4 = Šedivý
 | jméno4 = Jaroslav
 | titul = Geometrie I
 | redaktoři = MAHLEROVÁ, Ilona
 | vydání = 1
 | vydavatel = SPN
 | místo = Praha
 | rok = 1986
 | počet stran = 200
 | kapitola = 1.10 Úhly
 | strany = 79–82
 | id = 14-462-86
}}</ref>
| úhel, který je menší než přímý úhel; jeho velikost je menší než 180° (<math display=inline>\pi \, rad</math>)
|α < 180°
|-
| colspan="2" |'''kosý'''<ref name="Pomykalová_1996">{{Citace monografie
 | příjmení = Pomykalová
 | jméno = Eva
 | titul = Matematika pro gymnázia – Planimetrie
 | redaktoři = NOVÁKOVÁ, Marie
 | vydání = 3
 | vydavatel = Prometheus
 | místo = Praha
 | rok = 1996
 | počet stran = 207
 | kapitola = 1.2 Polorovina, úhel, dvojice úhlů
 | strany = 15
 | ISBN = 80-7196-045-4
}}</ref>
| společný název pro ostrý, pravý a tupý úhel; jeho velikost je větší než 0° a menší než 180° (<math display=inline>\pi \, rad</math>)
|0° < α < 180°
|-
| colspan="2" |'''přímý'''
| úhel, jehož ramena jsou [[Polopřímka#Opačné polopřímky|opačné polopřímky]]; jeho velikost je 180° (<math display=inline>\pi \, rad</math>); de facto se tak jedná o [[Přímka|přímku]], resp. [[Polorovina|polorovinu]].
|α = 180°
|-
| colspan="2" |'''konkávní''' ('''dutý''')<ref name="Sekanina_1986" />
| úhel, který je větší než přímý úhel, ale menší než plný úhel; úhel, který není konvexní; jeho velikost je větší než 180° (<math display=inline>\pi \, rad</math>), ale menší než 360° (<math display=inline>2\pi \, rad</math>)
|180°&nbsp;<&nbsp;α&nbsp;<&nbsp;360°
|-
| colspan="2" |'''plný'''
| úhel, jehož ramena leží na sobě (splývají v jednu polopřímku), svou plochou obsahuje celou [[Rovina|rovinu]]; jeho velikost je rovna 360° (<math display=inline>2\pi \, rad</math>)
|α = 360°
|}

[[Soubor:DruhyUhlu.jpg|Druhy úhlů]]
[[Soubor:KonvexniUhel.jpg|Konvexní úhel]]

=== Označení používané v [[Trigonometrie|trigonometrii]] ===

* ''výškový úhel'' – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět ve výšce s vodorovnou rovinou<ref name=":0">{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Krynický
| jméno = Martin
| titul = Trigonometrie v praxi
| url = http://www.realisticky.cz/ucebnice/01%20Matematika%20S%C5%A0/04%20Goniometrie/04%20Trigonometrie/05%20Trigonometrie%20v%20praxi.pdf
| místo = Strakonice
| datum vydání = 2022-12-01
| datum přístupu = 2023-03-15
| kapitola = 4.4.5
| strany = 3
}}</ref>
* ''hloubkový úhel'' – úhel, který svírá směr, kterým pozorujeme předmět v hloubce s vodorovnou rovinou<ref name=":0" />
* ''zorný úhel'' –  úhel, který spolu svírají směry, kterými pozorujeme dvě nejodlehlejší místa předmětu (nebo také úhel pod kterým vidíme předmět)<ref name=":0" />

== Dvojice úhlů ==
V matematice jsou zvláštní ''dvojice úhlů'' pojmenované jako: vrcholové, vedlejší, souhlasné a střídavé.<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Pojmy související s úhly – Procvičování online – Umíme matiku
| periodikum = www.umimematiku.cz
| url = https://www.umimematiku.cz/cviceni-pojmy-uhly
| jazyk = cs
| datum přístupu = 2022-06-17
}}</ref>
* ''Vrcholové úhly'' – dva úhly, jejichž ramena jsou opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné. Vrcholové úhly mají společný vrchol.

[[Soubor:VrcholoveUhly.jpg|Vrcholové úhly]]

* Vedlejší úhly – dva úhly, jejichž jedno rameno je společné a druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel.

[[Soubor:VedlejsiUhly.jpg|Vedlejší úhly]]

* Souhlasné úhly – dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je stejný (souhlasný). Souhlasné úhly jsou ''shodné''.

[[Soubor:SouhlasneUhly.jpg|Souhlasné úhly]]

* Střídavé úhly – dva úhly, jejichž první ramena leží na jedné přímce a druhá ramena jsou rovnoběžná, přitom směr příslušných ramen je opačný (střídavý). Střídavé úhly jsou ''shodné''.

[[Soubor:StridaveUhly.jpg|Střídavé úhly]]

== Úhly příslušné k oblouku kružnice ==
* ''Středový úhel'' – úhel, jehož vrcholem je střed <math>S</math>, kružnice <math>k</math> a ramena procházejí krajními body oblouku <math>AB</math> kružnice <math>k</math> (<math>\alpha</math>, <math>\beta</math> – středové úhly).
[[Soubor:StredovyUhel.jpg|Středový úhel]]

* ''Obvodový úhel'' – každý úhel, jehož vrchol <math>V</math> leží na kružnici <math>k</math> a ramena procházejí krajními body oblouku <math>AB</math> kružnice <math>k</math> (<math>V\neq A</math>, <math>V\neq B</math>).
[[Soubor:ObvodovyUhel.jpg|Obvodový úhel]]

* Úsekový úhel – úhel, jenž svírá tětiva <math>AB</math> kružnice <math>AB</math> s tečnou <math>t</math> kružnice <math>k</math> v bodě <math>A</math> (popř. bodě <math>B</math>).
[[Soubor:UsekovyUhel.jpg|Úsekový úhel]]

''Vztahy mezi velikostmi těchto úhlů popisuje následující obrázek:''

[[Soubor:StObUsUhly.jpg|Úhly kružnice]]
{{Viz též|Věta o obvodovém a středovém úhlu}}

== Souměrnost ==
Všechny úhly jsou [[Osová souměrnost|osově souměrné]], osa úhlu prochází vrcholem a rozděluje úhel na dvě shodné části (poloviny úhlu).

[[Soubor:OsaUhlu.jpg|Osa úhlu]]

== Orientovaný úhel ==
Orientovaným úhlem se nazývá [[uspořádaná n-tice|uspořádaná dvojice]] polopřímek <math>\overrightarrow{VA}</math>, <math>\overrightarrow{VB}</math> se společným bodem <math>V</math>, přičemž polopřímka <math>\overrightarrow{VA}</math> se nazvývá ''počáteční rameno úhlu'' a polopřímka <math>\overrightarrow{VB}</math> ''koncové rameno úhlu''. Bod <math>V</math> je vrcholem orientovaného úhlu.

== Velikost úhlu ==
Velikost úhlu je nezáporné [[číslo]], které lze přiřadit každému úhlu. Platí přitom, že [[shodnost|shodné]] úhly mají stejnou velikost a také, že [[součet]] velikostí úhlů <math>\angle AVX</math> a <math>\angle XVB</math> je roven velikosti úhlu <math>\angle AVB</math>.

Číselná velikost úhlu je dána volbou nenulového úhlu, kterému přiřadíme velikost 1. V matematice i praxi se pro měření úhlu používá (viz níže): ''oblouková míra'', ''stupňová míra'', ''setinná míra'', ale také například [[hodinová pozice]] pro vyjádření [[Azimut|azimutu]].

=== Oblouková (radiánová) míra ===
Hodnota jednotkového úhlu v obloukové míře je zvolena tak, že úhel o velikosti 1 vymezuje na [[kružnice|kružnici]] se středem ve vrcholu úhlu [[Kruhový oblouk|oblouk]], jehož délka je rovna [[poloměr]]u dané kružnice. Hodnotu obloukové míry úhlu <math>\alpha</math> značíme <math>\operatorname{arc}\alpha</math>.

Velikost libovolného úhlu je možné určit jako poměr délky oblouku vymezeného rameny na kružnici opsané kolem vrcholu k poloměru této kružnice, tzn.
:<math>\alpha = \frac{s}{r}</math>,
kde <math>s</math> je délka kruhového oblouku mezi přímkami, které vymezují úhel, a <math>r</math> je poloměr kruhového oblouku. Velikost pravého úhlu je v obloukové míře rovna <math>\frac{\pi}{2}</math>.

Úhlová jednotka obloukové míry je [[radián]]ech (zkratka ''rad'').

=== Stupňová míra ===
Stupňová míra (devadesátinná, nonagesimální) je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 90 dílů, které se nazývají ''[[úhlový stupeň|(úhlové) stupně]]''. Vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou lze tedy zapsat jako
:<math>1^\circ = \frac{\pi}{180}\, \mathrm{rad}</math>

Vyjádření úhlu v šedesátkové soustavě:
Úhlový stupeň se dělí na 60 ''(úhlových) [[Minuta (úhlová jednotka)|minut]]'', tzn. 1° = 60′. Pro úhlové minuty se používá také označení arcminute nebo arcmin. 60 arcmin = 60′ = 1°.<br />
Každá úhlová minuta se dále dělí na 60 ''(úhlových) [[vteřina|vteřin]]'', tzn. 1′ = 60′′. Pro úhlové vteřiny se používá také označení arcsecond nebo arcsec. 3600 arcsec = 3600′′ = 60′ = 1°.

Vyjádření úhlu v [[Desítková soustava|desítkové soustavě]]: úhlový stupeň se dělí dekadicky, např. 22° 29′ 36′′ = 22,4933°.

=== Setinná míra ===
Setinná míra je zavedena tak, že pravý úhel je rozdělen na 100 dílů, které nazýváme [[grad|gony (grady, setinné stupně]]). Vztah mezi setinnou a obloukovou mírou lze zapsat jako
:<math>1^\mathrm{g} = \frac{\pi}{200} \mathrm{rad}</math>

Setinný stupeň se dělí na 100 ''setinných minut'', tzn. <math>1^\mathrm{g} = 100^\mathrm{c}</math>, a každá setinná minuta se dělí na 100 ''setinných vteřin'', tzn. <math>1^\mathrm{c} = 100^\mathrm{cc}</math>.

=== Příklady ===
Jeden stupeň je 1/180 přímého úhlu, neboli přímý úhel má velikost 180°. Zlomky stupňů se vyjadřují buď v desítkové nebo v šedesátkové [[číselná soustava|soustavě]], viz následující příklady:
* půl stupně = 0,5° = 0° 30’ tj. 30 úhlových minut
* osmina stupně = 0,125° = 0° 7’ 30" tj. 7 úhlových minut a 30 vteřin.

Jeden radián je [[Pí (číslo)|<math>1/\pi</math>]] přímého úhlu.

Stupně se používají především z historických důvodů a také pro relativně snadné provádění jednoduchých výpočtů. Radiány mají výhodu při složitějších výpočtech – zvláště při derivování či integraci není třeba počítat se speciálními konstantami. Radián je navíc relativně intuitivní jednotka. Vyjadřuje přímo délku oblouku, vytyčeného daným úhlem na [[Jednotková kružnice|jednotkové kružnici]].

=== Velikost orientovaného úhlu ===
Velikost orientovaného úhlu je (v obloukové míře) rovna <math>\alpha+k2\pi</math>, kde <math>\alpha</math> je velikost stejného neorientovaného úhlu a <math>k</math> je [[celé číslo]]. Velikost orientovaného úhlu je úhel, kterým musí projít počáteční rameno při otočení do koncového ramene. Člen <math>k2\pi</math> představuje počet celých otoček kolem vrcholu úhlu.

=== Základní úhel ===
''Základní úhel'' (resp. ''základní velikost orientovaného úhlu'') je neorientovaná velikost úhlu, která spadá do [[Interval (matematika)|zleva uzavřeného intervalu]] <math>\langle 0^\circ, 360^\circ)</math> nebo v [[Radián|obloukové míře]] <math>\langle 0, 2\pi)</math>.<ref>{{Citace elektronického periodika
| příjmení = Havrlant
| jméno = Lukáš
| titul = Orientovaný úhel
| periodikum = Matematika polopatě
| url = https://www.matweb.cz/orientovany-uhel/
| jazyk = 
| datum přístupu = 2022-06-15
}}</ref> Při převodu velikosti úhlu na základní úhel ve stupních proto opakovaně odečítáme/přičítáme 360°, dokud není výsledek v požadovaném intervalu. Velikost 0° se neupravuje a naopak velikost 360° je 0°. Velikost 400° převedeme na 40° (protože 400 − 360 = 40), velikost 800° je pak 80° (800 − 360 − 360 = 80°), velikost −60° převedeme na 300° (protože −60 + 360 = 300).

== Rovinný úhel jako fyzikální veličina ==
[[Soubor:Right-hand_grip_rule.svg|náhled|vpravo|Pravidlo pravé ruky]]
Rovinný úhel je také [[fyzikální veličina]] užívaná k udávání polohy v prostoru ([[Sférická soustava souřadnic|sférické souřadnice]], [[Válcová soustava souřadnic|cylindrické souřadnice]]) a k popisu [[Otáčení|otáčivých pohybů]] a jejich skládání (včetně otáčení s různoběžnými osami). Nejedná se tedy pouze o rovinné, ale i ryze prostorové problémy.
 
V [[soustava SI|soustavě SI]] je hlavní jednotkou rovinného úhlu jakožto fyzikální veličiny 1 [[radián]],<ref>Příručka SI: Tabulka 3 – Koherentní odvozené jednotky v SI se zvláštními názvy. BIPM/SI, 2014. [http://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/table3.html Dostupné online] (anglicky)</ref> normy připouštějí i jednotky (úhlový) [[Stupeň (úhel)|stupeň]], (úhlová) [[Minuta (úhlová jednotka)|minuta]] a (úhlová) [[vteřina]] (dříve tzv. vedlejší jednotky, dnes mimosoustavové jednotky přípustné k použití se SI).<ref>Příručka SI: Tabulka 6 - Mimosoustavové jednotky přípustné k použití se SI. BIPM/SI, 2014. [http://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/table6.html Dostupné online] (anglicky)</ref>

Pro vyjádření polohy roviny úhlu v prostoru a současně jeho orientace se původně skalární veličina zobecňuje na [[Vektor#Pravý a axiální vektor|axiální vektor]]. Jeho směr leží v přímce kolmé k rovině úhlu procházející vrcholem úhlu. Orientace je konvencí stanovena tak, že při kolmém pohledu na rovinu úhlu s kladnou orientací (proti směru hodinových ručiček) směřuje vektor úhlu k pozorovateli. Jednoduše lze stanovit pravidlem pravé ruky: ''Položíme-li dlaň pravé ruky malíčkovým hřbetem na rovinu úhlu tak, že zahnuté články prstů směřují ve směru od počátečního ke koncovému rameni (v kinematice je to směr otáčení), ukazuje palec směr vektoru úhlu''.

Toto prostorové zobecnění je oprávněné (neuvažujeme-li triviální případ úhlů v jedné rovině) pouze v případě velmi malých otočení; vektorová algebra platí pouze pro elementární (ve smyslu infinitezimální) úhly.<ref name="Trkal_1956">{{Citace monografie
 | příjmení = Trkal
 | jméno = Viktor
 | odkaz na autora = Viktor Trkal
 | titul = Mechanika hmotných bodů a tuhého tělesa
 | redaktoři = BRDIČKA, Miroslav
 | vydání = 1
 | vydavatel = Nakladatelství Československé akademie věd
 | místo = Praha
 | rok = 1956
 | počet stran = 656
 | edice = Úvod do theoretické fysiky
 | svazek edice = I
 | kapitola = Přemístění konečné velikosti analytickou methodou
 | strany = 446–462
}}</ref> Lze pak bez problémů používat i pro veličiny vzniklé časovou derivací úhlu:
S využitím vektorového vyjádření úhlu <math>\boldsymbol{\varphi}</math> pak lze jednoduše vektorově definovat i [[úhlová rychlost|úhlovou rychlost]] <math>\boldsymbol{\omega} = \frac {\mathrm d \boldsymbol{\varphi}}{\mathrm{d} t} </math> a mnohé jiné veličiny.

Naopak pro obecné úhly je nutno volit jiný algebraický popis, aby byl konzistentní i pro skládání úhlů. Takové skládání totiž obecně není [[komutativní]] (tedy záleží na pořadí skládaných úhlů otočení) a znázornění úhlu axiálním vektorem je proto nekorektní.<ref name="Brdička_1987">{{Citace monografie
 | příjmení = Brdička
 | jméno = Miroslav
 | odkaz na autora = 
 | příjmení2 = Hladík
 | jméno2 = Arnošt
 | titul = Teoretická mechanika
 | redaktoři = JULIŠ, Karel
 | vydání = 1
 | vydavatel = Academia
 | místo = Praha
 | rok = 1987
 | počet stran = 584
 | kapitola = 1.3.2 Skládání translací a rotací
 | strany = 39–40
 | id = 21-093-87
}}</ref> Pro analytický popis jsou například vhodné [[kvaternion]]y rotace, v nichž vystupují čtveřice [[Eulerovy parametry|Eulerových parametrů]] (zpravidla značených ''A'', ''B'', ''C'', ''D''), nebo parametrické vyjádření lineárně lomenou transformací se čtveřicí [[Cayleyovy-Kleinovy parametry|Cayleyových-Kleinových parametrů]] (zpravidla ''α'', ''β'', ''γ'', ''δ'').<ref name="Trkal_1956" />

== Operace s úhly ==

=== Sčítání úhlů ===
Dva úhly se sečtou tak, že vezmete [[kružítko]] a libovolně přejedete úhel který máte narýsován, kružítko zapíchnete na libovolné místo na dolní čáře a jedete čarou k čáře 2. Dole na úhlu od čáry kružítka zapíchnete kružítko do dolní čáry do místa, kde se protínají čáry úhlu a kružítka a druhý konec kružítka na druhou čáru, kde se protíná čára úhlu a kružítka a necháte v kružítku velikost, kterou jste si z úhlu vytáhli. Máte-li 2 úhly na sečtení nechte si ještě pořád velikost kružítka z úhlu prvního a na druhém libovolně zapíchněte kružítko s velikostí z minulého úhlu na čáru druhého úhlu a táhněte s ním na druhou čáru a velikost na kružítku si opět nechte. Narýsujte čáru s jedním bodem a kružítko s pořád stejnou velikostí zapíchněte do bodu (bod musí být na levé straně) a táhněte s kružítkem doleva. Na obou úhlech zanikly ramena. Tam, kde se protíná kružítko a úhel, zapíchněte kružítko a jeďte do druhého ramena. Nechte si velikost a zapíchněte kružítko na narýsovanou čáru a na bodě zapíchněte a jeďte do minulé čáry od kružítka, než se střetnou, a pak pravítkem narýsujte čáru do bodu a to samé s druhým úhlem a na obrázku vidíte výsledek.

[[Soubor:ScitaniUhlu.jpg|Sčítání úhlů]]

'''Odčítání úhlů.''' Dva úhly se odečtou tak, že se jedním ramenem přiloží dovnitř sebe a výsledný úhel vznikne mezi druhými dvěma rameny. Početně stačí odečíst velikosti úhlů.

[[Soubor:OdcitaniUhlu.jpg|Odčítání úhlů]]

'''Násobení úhlů přirozeným číslem.''' Násobení úhlu [[Přirozené číslo|přirozeným číslem]] se převádí na opakované sčítání téhož úhlu tolikrát, kolik je dané přirozené číslo. Početně se vynásobí velikost úhlu daným přirozeným číslem.

'''Dělení úhlů dvěma.''' Úhel se dělí dvěma sestrojením [[Úhel#Souměrnost|osy úhlu]]. Početně se vydělí velikost úhlu dvěma. Konstrukčně nelze provést přesné dělení obecného úhlu třemi, úloha je známa pod jménem [[trisekce úhlu]].

=== Operace s orientovanými úhly ===
Při operacích s orientovanými úhly je nutné zohlednit jejich znaménka.

Jestliže tedy k orientovanému úhlu <math>\alpha</math> přičítáme orientovaný úhel <math>\beta</math>, který však je opačně orientován, je výsledek stejný jako bychom od neorientovaného úhlu o stejné velikosti jako má úhel <math>\alpha</math> odčítali neorientovaný úhel o stejné velikosti jako má úhel <math>\beta</math>. Výsledkem takové operace je opět orientovaný úhel, který má stejnou orientaci jako <math>\alpha</math>, jestliže <math>\alpha>\beta</math>, nebo má orientaci jako úhel <math>\beta</math>, jestliže <math>\alpha<\beta</math>.

=== Operace s úhly jakožto vektorovými veličinami ===

==== Skládání (vektorový součet) ====
Lze-li koncové rameno jednoho rovinného úhlu v prostoru ztotožnit s počátečním ramenem druhého úhlu stejného axiálního směru (stejné roviny úhlu), je úhel mezi počátečním ramenem prvního úhlu a koncovým ramenem druhého úhlu dán jejich vektorovým součtem. Takto lze skládat otočení v prostoru kolem stejné osy. Pro elementární (ve smyslu infinitezimální) úhly otočení kolem společného bodu platí vektorové skládání i pro obecné směry obou vektorů (roviny úhlů resp. osy otočení mohou být různé).

==== Násobení skalární veličinou ====
Velikost a [[Fyzikální rozměr veličiny|rozměr]] výsledku je dán součinem velikostí a rozměrů (v soustavě SI a většině dalších soustav jednotek je úhel [[bezrozměrná veličina]], má tedy rozměr 1){{#tag:ref|Do r. 1995 byl v SI radián tzv. doplňkovou jednotkou se zvláštním rozměrem. Rovinný úhel tak nebyl bezrozměrnou veličinou a radián [[bezrozměrná jednotka|bezrozměrnou jednotkou]], což umožňovalo lépe vyjádřit úhlový charakter některých odvozených veličin, ale působilo to problémy ve vztazích s veličinami, které vystupovaly v některých situacích jako úhlové, v jiných jako úhlově nezávislé (obvodová rychlost otáčení a běžně chápaná rychlost). Proto se od samostatných rozměrů pro úhel (a také pro tzv. prostorový úhel) ustoupilo.<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Resolution 8 of the 20th CGPM (1995) – Elimination of the class of supplementary units in the SI
| periodikum = BIPM
| url = https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/20-1995/resolution-8
| datum vydání = 1995
| doi = 10.59161/CGPM1995RES8E
| jazyk = en
| datum přístupu = 2024-05-15
}}</ref>|group="pozn."|name="raddim"}}, směr se nemění (je-li velikost záporná, znamená to opačnou orientaci ve stejné směrové přímce).

==== Skalární a vektorový součin s jinými vektorovými veličinami ====
S vektorově chápaným elementárním rovinným úhlem lze zacházet jako s jinými axiálními vektory. Proto rozměr součinu je součinem rozměrů a výsledkem jejich
* skalárního součinu
** s pravým vektorem je pseudoskalár,
** s axiálním vektorem je [[skalár]],
** obojí s velikostí danou součinem velikostí násobeným [[kosinus|kosinem]] úhlu sevřeným oběma vektory;
* vektorového součinu
** s pravým vektorem je axiální vektor,
** s axiálním vektorem je pravý vektor,
** obojí s velikostí danou součinem velikostí násobeným [[sinus|sinem]] úhlu sevřeným oběma vektory.

== Měřicí přístroje ==
Měření úhlů je v praxi velmi důležité. Využívá je [[astronomie]], [[geodézie]] a mnoho dalších oborů. Proto se také vyvinula řada měřicích přístrojů. Úhloměr je i základem mnoha druhů [[dálkoměr]]ů.
* [[Úhloměr]] – nejjednodušší měřidlo – jedná se o polokruhovou desku se stupnicí po obvodu. Složitější přístroje mají pohyblivé rameno.
* [[Jakubova hůl]] – jednoduchý středověký astronomický přístroj měřící na principu porovnávání stran trojúhelníku.
* [[Kvadrant (přístroj)|Kvadrant]], [[sextant]], [[Oktant (astronomie)|oktant]] – používané v navigaci.

== Poznámky ==
<references group="pozn." />

== Reference ==
<references />

== Související články ==
* [[Trisekce úhlu]]
* [[Prostorový úhel]]
* [[Hodinová pozice]]
* [[Azimut]]

== Externí odkazy ==
* {{commonscat}}
* {{Wikicitáty|téma=Úhel}}
* {{Wikislovník|heslo=úhel}}

{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}
{{1000 nejdůležitějších článků}}

[[Kategorie:Goniometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrické útvary]]
[[Kategorie:Rovinné geometrické útvary]]