Zobrazení zdroje stránky (ε, δ)-definice limity

[[Soubor:Límite_01.svg|vpravo|náhled|Pokud se bod ''x'' nachází v&nbsp;δ jednotkách kolem bodu ''c'', pak se ''f''(''x'') nachází v&nbsp;ε jednotkách kolem ''L.'']]
V&nbsp;[[Infinitezimální počet|kalkulu]] je '''(ε, δ)-definice limity''' („[[epsilon]]–[[Delta (písmeno)|delta]] definice limity“) formalizace pojetí [[Limita funkce|limit]]. Název vznikl podle [[Augustin Louis Cauchy|Augustina-Louise Cauchyho]], který sice nikdy neformuloval <math>(\varepsilon,\delta)</math> definici limity ve svém ''[[Cours d'Analyse]]'', ale občas používal <math>\varepsilon,\delta</math> argumenty ve svých důkazech. Poprvé byla formalizována [[Bernard Bolzano|Bernardem Bolzanem]] v&nbsp;roce 1817 a definitivní moderní znění nakonec poskytl [[Karl Weierstrass]].<ref name="grabiner2">{{Cit|titul=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus|jméno=Judith V.|příjmení=Grabiner|periodikum=The American Mathematical Monthly|datum vydání=March 1983|ročník=90|strany=185–194|url=http://www.mr-ideahamster.com/classes/assets/a_evepsilon.pdf|url archivu=https://www.webcitation.org/5gVUmZmxc?url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf|datum archivace=2009-05-04| nedostupné = ne|datum přístupu=2009-05-01|doi=10.2307/2975545|číslo=3|vydavatel=Mathematical Association of America|<!--WIRE:nepřevedeno:-->jstor=2975545|<!--WIRE:nepřevedeno:-->df=}}</ref><ref name=Cauchy>{{Cit|jméno=A.-L.|příjmení=Cauchy|<!--WIRE:nepřevedeno:-->author-link=Augustin Louis Cauchy|titul=Résumé des leçons données à l’école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal|místo=Paris|rok=1823|url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|kapitola=Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées <math>\frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots</math> Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée|<!--WIRE:nepřevedeno:-->chapter-url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z/f45n5.capture|<!--WIRE:nepřevedeno:-->postscript=, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z.image.f47 p. 44].|url archivu=https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|datum archivace=2009-05-04| nedostupné = ano|datum přístupu=2009-05-01|<!--WIRE:nepřevedeno:-->df=}}</ref> Tato definice dělá následující neformální výrok rigorózním: závislý výraz ''f''(''x'') se blíží hodnotě ''L,'' zatímco se proměnná ''x'' blíží hodnotě ''c'', pokud ''f''(''x'') může být libovolně blízko k&nbsp;''L'', když ''x'' je dostatečně blízko k&nbsp;''c''.

== Historie ==
I&nbsp;když již Řekové zkoumali limitní procesy, jako je [[Babylónská metoda]], nejspíš neměli žádný koncept podobný moderní limitě.<ref>{{Citace monografie|příjmení=Stillwell|jméno=John|titul=Mathematics and its history|datum vydání=1989|vydavatel=Springer-Verlag|místo=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|strany=38–39}}</ref> Potřeba tohoto konceptu se objevila v&nbsp;17. století, kdy se [[Pierre de Fermat]] pokusil najít [[Směrnice přímky|sklon]] [[Tečna|tečny]] v&nbsp;bodě funkce jako třeba <math>f(x) = x^2.</math> Použití nenulové, ale téměř nulové kvantity, značené <math>E,</math> Fermat provedl následující výpočet:

<math>\begin{align}
{\rm sklon} &= \frac{f(x+E) - f(x)}{E}\\
&= \frac{(x+E)^2 - x^2}{E}\\
&= \frac{x^2 + 2xE + E^2 - x^2}{E}\\
&= \frac{2xE + E^2}{E}\\
&= 2x + E = 2x.
\end{align}</math>

Klíčem k&nbsp;výše uvedenému výpočtu je, že ježto <math>E</math> je nenulové, takže lze dělit, ale jelikož je zároveň blízko 0, <math>2x + E</math> je vlastně <math>2x.</math><ref>{{Citace monografie|příjmení=Stillwell|jméno=John|titul=Mathematics and its history|datum vydání=1989|vydavatel=Springer-Verlag|místo=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|strany=104}}</ref> Kvantity jako např. <math>E</math> jsou nazývány [[Infinitezimální hodnota|infinitezimály]]. Problémem takového výpočtu bylo, že matematici tehdejší doby nebyli schopni důsledně definovat takovou hodnotu s&nbsp;vlastnostmi <math>E</math><ref>{{Citace monografie|příjmení=Stillwell|jméno=John|titul=Mathematics and its history|datum vydání=1989|vydavatel=Springer-Verlag|místo=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|strany=106}}</ref> i&nbsp;když bylo běžnou praxí „zanedbat“ infinitezimály s&nbsp;vyšší mocninou a zdálo se, že výsledky takových výpočtů jsou správné.

Tento problém se objevil později v&nbsp;letech 1600 v&nbsp;ústředí vývoje [[Infinitezimální počet|kalkulu]], protože postupy, jako byl ten Fermatův, jsou důležité pro výpočet [[Derivace|derivací]]. [[Isaac Newton]] vyvinul první infinitezimální kalkulus pomocí tzv. [[Fluxionová metoda|fluxionů]]. Vyvinul je v&nbsp;souvislosti s&nbsp;myšlenkou „nekonečně krátkého časového okamžiku…“<ref name="ReferenceA2">{{Citace monografie|příjmení=Buckley|jméno=Benjamin Lee|titul=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|datum vydání=2012|isbn=9780983700487|strany=31}}</ref> Později Newton nicméně fluxiony odmítl ve prospěch teorie poměrů, která je blízká moderní <math>(\varepsilon, \delta)</math> definici limity. Newton si byl navíc vědom, že limita poměru zmenšujících se veličin ve skutečnosti sama poměrem ''nebyla'', jak napsal:

: Tyto poměry … ve skutečnosti nejsou poměry konečných veličin, ale limit … kterým se mohou přiblížit tak těsně, že jejich rozdíl je menší než jakékoli dané množství…

Newton navíc příležitostně limity vysvětlil podobným způsobem, jako je epsilon–delta definice.<ref>{{Cit|titul=Newton and the Notion of Limit|jméno=B.|příjmení=Pourciau|periodikum=Historia Mathematica|ročník=28|číslo=1|rok=2001|doi=10.1006/hmat.2000.2301}}</ref> [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] vyvinul vlastní infinitezimální počet a snažil se jej upevnit na rigorózním základu, ale stále tím některé matematiky a filozofy neuspokojil.<ref>{{Citace monografie|příjmení=Buckley|jméno=Benjamin Lee|titul=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|datum vydání=2012|isbn=9780983700487|strany=32}}</ref>

[[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] podal definici limity pomocí primitivnějšího konceptu, tzv. ''variabilního množství''. Nikdy limitu nedefinoval pomocí epsilon–delta definice (Grabiner 1981). Některé z&nbsp;Cauchyho důkazů obsahují známky epsilon–delta metody. Zda jeho přístup může či nemůže být považován za předzvěst Weierstrasse, je předmětem sporů. Grabiner si myslí, že ano, zatímco Schubring (2005) nesouhlasí. Nakane dospívá k&nbsp;závěru, že Cauchy i&nbsp;Weierstrass dali stejný název různým pojetím limity.<ref>Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's&nbsp;differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in ε−δ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.</ref>

Nakonec přichází Bolzano a Weierstrass, kteří jsou považováni za první, kteří dali kalkulu pevný základ v&nbsp;podobě moderní <math>\varepsilon - \delta</math> definice limity.<ref name=Cauchy /> Potřeba odvolat se na nekonečně malé <math>E</math> byla odstraněna<ref>{{Citace monografie|příjmení=Buckley|jméno=Benjamin Lee|titul=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|datum vydání=2012|isbn=9780983700487|strany=33}}</ref> a Fermatův výpočet se změnil na výpočet následující limity:

: <math>\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.</math>

Nelze však říci, že byla tato definice limity bez problémů, jelikož i&nbsp;když odstranila nutnost infinitezimál, vyžadovala konstrukci [[Reálné číslo|reálných čísel]] podle [[Richard Dedekind|Richarda Dedekinda]].<ref>{{Citace monografie|příjmení=Buckley|jméno=Benjamin Lee|titul=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|datum vydání=2012|isbn=9780983700487|strany=32–35}}</ref> Také je nutno dodat, že infinitezimály mají také své místo v&nbsp;moderní matematice, neboť je byli později matematici schopni rigorózně definovat pomocí [[Hyperreálné číslo|hyperreálných čísel]] nebo [[Nadreálné číslo|nadreálných čísel]]. Navíc je pomocí nich také možné vytvořit kalkulus a mají i&nbsp;další matematická použití.<ref>{{Citace monografie|příjmení=Tao|jméno=Terence|titul=Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog|rok=2008|url=https://archive.org/details/structurerandomn00taot|datum vydání=2008|vydavatel=American Mathematical Society|místo=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-4695-7|strany=[https://archive.org/details/structurerandomn00taot/page/n105 95]–110}}</ref>

== Neformální znění ==
Dobrá intuitivní nebo zástupná definice je, že „[[Funkce (matematika)|funkce]] ''f'' se blíží k&nbsp;limitě ''L'' blízko ''a'' (symbolicky, <math>\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L</math> ) pokud lze dostat ''f(x)'' libovolně blízko k&nbsp;''L'' tak, že vyžadujeme, aby ''x'' bylo dostatečně blízko k, ale různé od, ''a''.“<ref>{{Citace monografie|příjmení=Spivak|jméno=Michael|titul=Calculus|datum vydání=2008|vydavatel=Publish or Perish|místo=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|strany=90|edition=4th|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich}}</ref>

Tím, že jsou dvě hodnoty blízko sebe (např. ''f(x)'' a ''L'' nebo ''x'' a ''a''), myslíme, že [[vzdálenost]] mezi nimi je malá. Když jsou ''f(x)'', ''L'', ''x'', a ''a'' [[Reálné číslo|reálná čísla]], vzdálenost mezi dvěma z&nbsp;nich je [[absolutní hodnota]] z&nbsp;jejich [[Odčítání|rozdílu]]. To znamená, že když říkáme, že ''f(x)'' je blízko k&nbsp;''L'', myslíme tím, že <math>|f(x) - L|</math> je malá. Když říkáme, že ''x'' a ''a'' jsou blízko, myslíme tím, že <math>|x - a|</math> je malá.<ref name="Calculus2">{{Citace monografie|příjmení=Spivak|jméno=Michael|titul=Calculus|datum vydání=2008|vydavatel=Publish or Perish|místo=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|strany=96|edition=4th|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich}}</ref>

Když říkáme, že můžeme dostat ''f(x)'' libovolně blízko k&nbsp;''L'', myslíme tím, že pro '''všechny''' nenulové vzdálenosti <math>\varepsilon</math> můžeme vzdálenost mezi ''f(x)'' a ''L'' udělat menší než <math>\varepsilon.</math>

Když říkáme, že můžeme dostat ''f(x)'' libovolně blízko k&nbsp;''L'' s&nbsp;tím, že ''x'' musí být dostatečně blízko k, ale různé od, ''a'', myslíme tím, že pro každou nenulovou vzdálenost <math>\varepsilon</math> existuje nějaká nenulová vzdálenost <math>\delta</math> taková, že je-li vzdálenost ''x'' od ''a'' menší než <math>\delta</math> pak vzdálenost mezi ''f(x)'' a ''L'' je menší než <math>\varepsilon.</math>

Podstatou definice je, že pro jakoukoliv „výzvu“ <math>\varepsilon >0</math> pro dané ''f'', ''a'' a ''L'', se musí najít <math>\delta >0</math> takové, že pokud <math>0 < |x - a| < \delta,</math> pak z&nbsp;toho plyne, že <math>0 < |f(x) - L| < \varepsilon.</math> Pokud lze najít takovou odpověď na jakoukoli výzvu, pak bylo dokázáno, že limita existuje.

== Přesná definice a podobné výroky ==

=== Přesná definice pro reálné funkce ===
<math>(\varepsilon, \delta)</math> definice [[Limita funkce|limity funkce]] je následující:

Nechť <math>f</math> je reálná [[Funkce (matematika)|funkce]] definovaná na podmnožině <math>D</math> [[Reálné číslo|reálných čísel]]. Nechť <math>c</math> je [[Hraniční bod|mezní bod]] <math>D</math> a nechť <math>L</math> je reálné číslo. Pak říkáme, že

: <math>\lim_{x\rightarrow c} f(x) = L,</math>

pokud pro každé <math>\varepsilon</math> existuje <math>\delta</math> taková, že pro všechna <math>x\in D,</math> pokud <math>0 < |x-c| < \delta,</math> pak <math>0 < |f(x) - L| < \varepsilon.</math>

Symbolicky:

: <math>\lim_{x\rightarrow c} f(x) = L \Longleftrightarrow (\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D, 0 < |x - c| < \delta \implies 0 < |f(x) - L| < \varepsilon).</math>

Pokud <math>D = [a, b]</math> nebo <math>D = \R,</math> pak je podmínka, že <math>c</math> je mezní bod, je automaticky splněna, protože každý uzavřený [[Interval (matematika)|reálný interval]] a celá reálná osa jsou [[Dokonalá množina|dokonalé množiny]].

=== Přesná definice pro funkce mezi metrickými prostory ===
Tuto definici lze zobecnit i&nbsp;na funkce, které jsou zobrazením mezi [[Metrický prostor|metrickými prostory]]. Tyto prostory nesou funkci zvanou metrika, která bere dva body v&nbsp;tomto prostoru a vrací reálné číslo, které představuje vzdálenost mezi nimi.<ref name="Rudin, Walter 1976 302">{{Citace monografie|autor=Rudin, Walter|titul=Principles of Mathematical Analysis|vydavatel=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|rok=1976|isbn=978-0070542358|strany=30|url=https://books.google.com/books?id=kwqzPAAACAAJ}}</ref> Zobecněná definice pak zní:<ref>{{Citace monografie|autor=Rudin, Walter|titul=Principles of Mathematical Analysis|vydavatel=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|rok=1976|isbn=978-0070542358|strany=83|url=https://books.google.com/books?id=kwqzPAAACAAJ}}</ref>

Nechť <math>f</math> je zobrazení z&nbsp;podmnožiny <math>D</math> metrického prostoru <math>X</math> s&nbsp;metrikou <math>d_X(x, y)</math> do metrického prostoru <math>Y</math> s&nbsp;metrikou <math>d_Y(x,y).</math> Nechť <math>c</math> je mezní bod <math>D</math> a nechť <math>L</math> je bod v&nbsp;<math>Y.</math>

Pak říkáme, že

: <math>\lim_{x\rightarrow c} f(x) = L</math>

pokud pro každé <math>\varepsilon > 0</math> existuje <math>\delta >0</math> takové, že pro všechna <math>x\in D,</math> pokud <math>0 < d_X(x, c) < \delta,</math> pak <math>0 < d_Y(f(x), L) < \varepsilon.</math>

Jelikož <math>d(x, y) = |x-y|</math> je metrika na reálných číslech, lze dokázat, že tato definice zobecňuje první definici pro reálné funkce.<ref>{{Citace monografie|autor=Rudin, Walter|titul=Principles of Mathematical Analysis|vydavatel=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|rok=1976|isbn=978-0070542358|strany=84|url=https://books.google.com/books?id=kwqzPAAACAAJ}}</ref>

=== Negace definice ===
[[Negace]] této definice je následující:<ref>{{Citace monografie|příjmení=Spivak|jméno=Michael|titul=Calculus|datum vydání=2008|vydavatel=Publish or Perish|místo=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|strany=97|edition=4th|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich}}</ref>

Nechť <math>f</math> je zobrazení z&nbsp;podmnožiny <math>D</math> metrického prostoru <math>X</math> s&nbsp;metrikou <math>d_X(x, y)</math> do metrického prostoru <math>Y</math> s&nbsp;metrikou <math>d_Y(x,y).</math> Nechť <math>c</math> je mezní bod <math>D</math> a nechť <math>L</math> je bod v&nbsp;<math>Y.</math>

Pak říkáme, že

: <math>\lim_{x\rightarrow c} f(x) \neq L</math>

pokud existuje <math>\varepsilon > 0</math> takové, že pro všechna <math>\delta >0</math> existuje <math>x\in D</math> takové, že <math>0 < d_X(x, c) < \delta</math> a <math>d_Y(f(x), L) > \varepsilon.</math>

Říkáme, že <math>\lim_{x\rightarrow c} f(x)</math> neexistuje, pokud pro všechna <math>L\in Y,\ \lim_{x\rightarrow c} f(x) \neq L.</math>

Pro negaci definice pro reálnou funkci definovanou na reálných číslech lze jednoduše dosadit <math>d_X(x, y) = d_Y(x,y) = |x-y|.</math>

=== Přesná definice pro limitu v&nbsp;nevlastním bodě ===
Přesná definice pro nekonečné limity je následující:

Nechť <math>f</math> je zobrazení z&nbsp;podmnožiny <math>D</math> metrického prostoru <math>X</math> s&nbsp;metrikou <math>d_X(x,y)</math> do metrického prostoru <math>Y</math> s&nbsp;metrikou <math>d_Y(x,y).</math> Nechť <math>L\in Y.</math>

Pak říkáme, že

: <math>\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = L</math>

pokud pro každé <math>\varepsilon >0</math> existuje reálné číslo <math>N>0</math> takové, že existuje <math>x\in D</math> takové, že <math>d_X(x,0) > N,</math> a že pokud <math>d_X(x,0) > N</math> a <math>x\in D,</math> pak <math>d_Y(f(x), L) < \varepsilon.</math>

== Vypracované příklady ==

=== Příklad 1 ===
Ukážeme, že

: <math>\lim_{x\rightarrow 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0</math> .

Nechť máme dané <math>\varepsilon>0.</math> Musíme najít <math>\delta>0</math> takové, že pokud <math>|x-0| < \delta,</math> pak <math>\left|x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)-0\right| < \varepsilon.</math>

Jelikož [[sinus]] je shora omezený na 1 a zdola na -1, platí

<math>\begin{align}
\left|x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)-0\right| &= \left|x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\\
&= |x|\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\\
&\le |x|.
\end{align}</math>

Pokud tedy vezmeme <math>\delta = \varepsilon,</math> pak pokud <math>|x| = |x-0| < \delta,</math> tak <math>\left|x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)-0\right| \le |x| < \delta = \varepsilon,</math> což dokončuje důkaz.

=== Příklad 2 ===
Dokažme tvrzení, že

: <math>\lim_{x\rightarrow a} x^2 = a^2</math>

pro libovolné reálné číslo <math>a</math> .

Nechť máme dané <math>\varepsilon.</math> Najdeme <math>\delta</math> takové, že pokud <math>|x-a| < \delta,</math> pak <math>\left|x^2 - a^2\right| < \varepsilon.</math>

Začneme rozkladem na součin:

: <math>\left|x^2-a^2\right| = |(x+a)(x-a)| = |x+a|\cdot|x-a|</math>

Všimněme si, že <math>|x-a|</math> je činitel shora ohraničený <math>\delta,</math> takže za mez můžeme určit 1 a později pro <math>\delta</math> vzít něco menšího.<ref>{{Citace monografie|příjmení=Spivak|jméno=Michael|titul=Calculus|datum vydání=2008|vydavatel=Publish or Perish|místo=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|strany=95|edition=4th|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich}}</ref>

Inu předpokládejme, že <math>|x-a| < 1.</math> Jelikož <math>|x| - |y| \le |x-y|</math> platí pro obecná reálná čísla <math>x</math> a <math>y,</math> máme

: <math>|x| - |a| \le |x-a| < 1</math>

Takže

: <math>|x| < 1 + |a|.</math>

A&nbsp;tedy podle [[Trojúhelníková nerovnost|trojúhelníkové nerovnosti]]:

: <math>|x+a| \le |x| + |a| < 2|a| + 1.</math>

Pokud tedy budeme dále předpokládat, že

: <math>|x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a|+1},</math>

pak

: <math>\left|x^2-a^2\right| < \varepsilon.</math>

Nakonec tedy stanovíme

: <math>\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right).</math>

Takže pokud <math>|x-a| <\delta,</math> pak

: <math>\begin{align}

\left|x^2-a^2\right| &= |x+a| \cdot |x-a|\\
&< \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\cdot |x+a|\\
&< \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\cdot (2|a|+1)\\
&= \varepsilon.

\end{align}</math>

Našli jsme tedy takové <math>\delta,</math> že pokud <math>|x-a| <\delta,</math> pak <math>|x^2-a^2| < \varepsilon.</math> Ukázali jsme tedy, že

: <math>\lim_{x\rightarrow a} x^2 = a^2</math>

pro jakékoliv reálné číslo <math>a.</math>

=== Příklad 3 ===
Dokažme, že

: <math>\lim_{x\rightarrow 5} 3x-3 = 12.</math>

Nejlépe je to vidět pomocí grafického znázornění limity, které se tím stává pevným základem pro důkaz. Podle formální definice výše je limitní výrok platný, právě když pokud omezíme <math>x</math> na <math>\delta</math> jednotek od <math>c,</math> nevyhnutelně tím také omezíme <math>f(x)</math> na <math>\varepsilon</math> jednotek od <math>L.</math> V&nbsp;tomto konkrétním případě to znamená, že tvrzení je pravdivé, právě když omezení <math>x</math> na <math>\delta</math> jednotek od 5 nevyhnutelně omezí

: <math>3x-3</math>

na <math>\varepsilon</math> jednotek od 12. Klíčem k&nbsp;odhalení této [[implikace]] je ukázat, jak jsou <math>\varepsilon</math> a <math>\delta</math> k&nbsp;sobě navzájem vztaženy tak, že implikace platí. Matematicky chceme ukázat, že

: <math>|x-5| <\delta \implies |(3x-3)-12| < \varepsilon.</math>

Po zjednodušení, rozkladu na součin a dělení třemi na pravé straně implikace dostaneme

: <math>|x-5| < \frac{\varepsilon}{3},</math>

což okamžitě splňuje podmínku, pokud zvolíme

: <math>\delta = \frac{\varepsilon}{3}.</math>

Tím je důkaz dokončen. Klíčem k&nbsp;důkazu spočívá v&nbsp;tom, zvolit mez pro <math>x</math> a následně najít odpovídající mez pro <math>f(x),</math> které se v&nbsp;tomto případě lišily o&nbsp;činitel 3, který plyne ze sklonu 3 přímky

: <math>y = 3x-3.</math>

== Spojitost ==
Funkce ''f'' je [[Spojité zobrazení|spojitá]] na ''c'', pokud je na ''c'' definovaná a její hodnota se na ''c'' rovná limitě ''f'', když se ''x'' blíží ''c'':

: <math>\lim_{x\rightarrow c} f(x) = f(c).</math>

Pokud by byla podmínka <math>0<|x-c|</math> z&nbsp;definice limity vynechána, pak by byl požadavek, že ''f''(''x'') má limitu na ''c'', stejný jako vyžadovat, aby bylo ''f''(''x'') na ''c'' spojité.

''f'' je spojitá na intervalu ''I'', pokud je spojitá v&nbsp;každém bodě ''c'' náležícím ''I''.

== Srovnání s&nbsp;infinitezimální definicí ==
[[Howard Jerome Keisler|Keisler]] dokázal, že [[Hyperreálné číslo|hyperreálná]] [[Infinitezimální počet#Limita|definice limity]] snižuje kvantifikátorovou složitost o&nbsp;dva kvantifikátory.<ref>{{Cit|příjmení=Keisler|jméno=H. Jerome|kapitola=Quantifiers in limits|titul=Andrzej Mostowski and foundational studies|strany=151–170|vydavatel=IOS, Amsterdam|rok=2008|<!--WIRE:nepřevedeno:-->contribution-url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/limquant7.pdf}}</ref> A&nbsp;sice, že <math>f(x)</math> konverguje k&nbsp;limitě ''L'', když se <math>x</math> blíží k&nbsp;''a'', právě když pro každou infinitezimálu ''e'' je hodnota <math>f(x+e)</math> nekonečně blízko k&nbsp;''L''; viz [[Mikrokontinuita|mikrokontinuitu]] pro související definici spojitosti, v&nbsp;podstatě podané [[Augustin Louis Cauchy|Cauchym]]. Učebnice infinitezimálního počtu založené na [[Abraham Robinson|Robinsonově]] přístupu poskytují definice spojitosti, derivace a integrálu ve standardní formě pomocí infinitezimál. Jakmile byly pojmy jako kontinuita důkladně vysvětleny pomocí mikrokontinuity, přístup pomocí epsilon–delta je představen také. [[Karel Hrbáček]] tvrdí, že definice spojitosti, derivace a integrace v&nbsp;Robinsonově nestandardní analýze se musí opírat o&nbsp;ε–δ metodu za účelem ošetření i&nbsp;nestandardní vstupní hodnoty.<ref>{{Cit|příjmení=Hrbacek|jméno=K.|<!--WIRE:nepřevedeno:-->editor-last=Van Den Berg|<!--WIRE:nepřevedeno:-->editor-first=I.|<!--WIRE:nepřevedeno:-->editor2-last=Neves|<!--WIRE:nepřevedeno:-->editor2-first=V.|kapitola=Stratified Analysis?|titul=The Strength of Nonstandard Analysis|vydavatel=Springer|rok=2007}}</ref> Błaszczyk a další tvrdí, že [[mikrokontinuita]] je užitečná v&nbsp;rozvoji jasné definice stejnoměrné spojitosti a považuje Hrbáčkovu kritiku za „pochybné naříkání“.<ref>{{Cit|příjmení=Błaszczyk|jméno=Piotr|<!--WIRE:nepřevedeno:-->author1-link=|příjmení2=Katz|jméno2=Mikhail|<!--WIRE:nepřevedeno:-->author2-link=Mikhail Katz|příjmení3=Sherry|jméno3=David|<!--WIRE:nepřevedeno:-->author3-link=|<!--WIRE:nepřevedeno:-->arxiv=1202.4153|doi=10.1007/s10699-012-9285-8|číslo=|periodikum=[[Foundations of Science]]|strany=|titul=Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking|ročník=|rok=2012}}</ref> Hrbáček navrhuje alternativní nestandardní analýzu, která má (na rozdíl od Robinsona) mnoho „úrovní“ infinitezimál, takže limity na jedné úrovni mohou být definovány pomocí infinitezimál další úrovně.<ref>{{Citace periodika|příjmení=Hrbacek|jméno=K.|titul=Relative set theory: Internal view|periodikum=Journal of Logic and Analysis|rok=2009|ročník=1|url=http://logicandanalysis.org/index.php/jla/article/view/25/17|<!--WIRE:doplněno:-->jazyk=anglicky}}</ref>

== Reference ==
{{Překlad|en|(ε, δ)-definition of limit|869949133}}
<references />

== Související články ==
* [[Spojité zobrazení]]
* [[Limita posloupnosti]]

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Limity (matematika)|Definice limity]]
[[Kategorie:Matematická logika]]
[[Kategorie:Matematická analýza]]